Ache a derivada da função dada
f(t)=\left(t^{2}+4 t-5\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(t)=\left(t^{2}+4t-5\right)^{4}.
Informações dadas:
\text{função: }f(t)=\bigl(\underbrace{t^{2}+4t-5}_{\text{expressão interna}}\bigr)^{4}.çãã
A pergunta é: qual é \displaystyle f'(t), a derivada de f em função de t?

Passo 2

Vamos usar uma regra geral útil para funções compostas do tipo (u(t))^{n}. A regra diz:
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)^{n}\bigr)=n\,u(t)^{\,n-1}\,u'(t).
Explicando cada símbolo:
  • u(t) é a função interna (a parte que está elevada a uma potência).
  • n é o expoente (aqui n=4).
  • u'(t) é a derivada da função interna em relação a t.
    Essa regra significa: derivamos a parte externa (a potência), deixamos a interna igual e multiplicamos pela derivada da interna — é a ideia da “cadeia” (a derivada do todo depende da derivada da parte interna).

Passo 3

Identificamos u(t) e n para o nosso problema:
u(t)=t^{2}+4t-5,\qquad n=4.
Agora calculamos u'(t). Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(4t\bigr)=4,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(-5\bigr)=0.
Portanto
u'(t)=2t+4.

Passo 4

Aplicando a fórmula da Passo 2:
f'(t)=4\bigl(t^{2}+4t-5\bigr)^{3}\cdot\bigl(2t+4\bigr).
Aqui substituímos n=4, u(t)=t^{2}+4t-5 e u'(t)=2t+4.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro fatoramos 2t+4:
2t+4=2(t+2).
Substituindo em f'(t) e multiplicando o 4 por 2:
f'(t)=4\bigl(t^{2}+4t-5\bigr)^{3}\cdot 2(t+2)=8(t+2)\bigl(t^{2}+4t-5\bigr)^{3}.

Passo 6

Se quisermos, podemos fatorar o polinômio quadrático \,t^{2}+4t-5. Procuramos dois números que multiplicam -5 e somam 4: são 5 e -1. Logo
t^{2}+4t-5=(t+5)(t-1).
Substituindo na derivada:
f'(t)=8(t+2)\bigl((t+5)(t-1)\bigr)^{3}=8(t+2)(t+5)^{3}(t-1)^{3}.
Essa forma fatorada é útil para identificar raízes da derivada e multiplicidades.

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre identifique primeiro a função interna u(t), calcule u'(t), aplique a fórmula n u^{n-1} u' e só depois faça fatorações necessárias. Não expanda potências grandes — normalmente fatorar é mais prático.

Resposta

8(t+2)(t+5)^{3}(t-1)^{3}

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