Para f(x, y, z)=-2 x^{2}+y^{2}-3 z^{2}.
a) Se P=(1,1,2), encontre a equação e identifique (dê o nome, classifique) a superfície de nível que contém o ponto P.
b) Se \vec{v}=(3,0,-1), obtenha \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(1,1,2).
c) Obtenha a expressão do campo gradiente \nabla f(x, y, z).

Passo 1

Dados do enunciado:
  • A função dada é f(x,y,z)=-2x^{2}+y^{2}-3z^{2}.
  • O ponto P=(1,1,2).
  • O vetor \vec{v}=(3,0,-1).
O que o enunciado pede:
a) Encontrar a equação da superfície de nível que contém P e identificar/ classificar essa superfície.
b) Calcular \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}}(1,1,2) (a derivada direcional de f em P na direção de \vec{v}).
c) Obter a expressão do campo gradiente \nabla f(x,y,z).

Passo 2

Primeiro precisamos saber qual é o valor constante c do nível que passa por P. Calculamos f em P:
f(1,1,2) = -2\cdot(1)^{2} + (1)^{2} - 3\cdot(2)^{2}.
Agora avalio termo a termo:
-2\cdot(1)^{2} = -2,\quad (1)^{2}=1,\quad -3\cdot(2)^{2} = -3\cdot4 = -12.
Somando:
f(1,1,2) = -2 + 1 -12 = -13.
Portanto o nível que contém P é o conjunto dos pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=-13.

Passo 3

Escrevo a equação explícita da superfície de nível encontrada:
-2x^{2}+y^{2}-3z^{2} = -13.
Para classificar melhor, é conveniente colocar numa forma com o lado direito positivo. Multiplico por -1:
2x^{2} - y^{2} + 3z^{2} = 13.
Dividindo ambos os lados por 13 para ver a forma normalizada:
\frac{2x^{2}}{13} - \frac{y^{2}}{13} + \frac{3z^{2}}{13} = 1.

Passo 4

Explicação didática sobre classificação de cônicas/quádricas (resumo aplicado ao caso):
  • Uma superfície quadrática do tipo \pm \dfrac{x^{2}}{a^{2}} \pm \dfrac{y^{2}}{b^{2}} \pm \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1 é classificada observando quantos sinais positivos e quantos negativos aparecem.
  • Se houver exatamente uma soma com sinal negativo (ou seja, dois termos positivos e um negativo) e o lado direito for 1>0, a superfície é um hiperbolóide de uma folha.
  • Se houver dois sinais negativos e um positivo (ou seja, uma única soma positiva) com RHS 1>0, é hiperbolóide de duas folhas.
No nosso caso a forma normalizada tem dois coeficientes positivos ( \frac{2}{13} e \frac{3}{13}) e um coeficiente negativo ( -\frac{1}{13}). Logo há exatamente um sinal negativo e o RHS é positivo, então a superfície é um hiperbolóide de uma folha.
Também confirmamos que P pertence à superfície porque já calculamos f(1,1,2)=-13, ou seja, substituindo P na equação do nível obtemos identidade verdadeira.

Passo 5

Agora vou obter o campo gradiente \nabla f(x,y,z). Primeiro recapitulo o conceito e a fórmula:
  • O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y,z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • A derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes e deriva como em função de uma variável só.
Calculo cada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^{2}+y^{2}-3z^{2}\bigr) = -4x,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x^{2}+y^{2}-3z^{2}\bigr) = 2y,
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(-2x^{2}+y^{2}-3z^{2}\bigr) = -6z.
Portanto
\nabla f(x,y,z) = (-4x,\; 2y,\; -6z).

Passo 6

Para calcular a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}}(1,1,2) usamos a relação entre derivada direcional e gradiente:
  • Se \vec{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}, então
\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P) = \nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Ou seja, derivada direcional = produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário na direção desejada.
Primeiro obtenho \nabla f(1,1,2) substituindo em \nabla f(x,y,z):
\nabla f(1,1,2) = (-4\cdot1,\; 2\cdot1,\; -6\cdot2) = (-4,\;2,\;-12).
Agora calculo o vetor unitário \vec{u} na direção de \vec{v}=(3,0,-1). O comprimento (norma) de \vec{v} é
\|\vec{v}\| = \sqrt{3^{2}+0^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{9+0+1} = \sqrt{10}.
Logo o vetor unitário é
\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \left(\frac{3}{\sqrt{10}},\;0,\;-\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
Faço o produto escalar \nabla f(1,1,2)\cdot \vec{u}:
(-4,\;2,\;-12)\cdot \left(\frac{3}{\sqrt{10}},\;0,\;-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}}\bigl((-4)\cdot3 + 2\cdot 0 + (-12)\cdot(-1)\bigr).
Calculo os termos:
(-4)\cdot3 = -12,\quad (-12)\cdot(-1)=12.
Somando:
-12 + 0 + 12 = 0.
Portanto o produto escalar vale \dfrac{0}{\sqrt{10}} = 0.
Isso significa que a derivada direcional solicitada é 0: ao primeiro ordem, f não varia na direção de \vec{v} a partir de P. (Isto ocorre porque \vec{v} é ortogonal ao gradiente em P.)

Resposta

a) Equação: -2x^{2}+y^{2}-3z^{2}=-13. Classificação: hiperbolóide de uma folha.
b) \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}}(1,1,2)=0.
c) \nabla f(x,y,z)=(-4x,\;2y,\;-6z).

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