Para
.
a) Se
, encontre a equação e identifique (dê o nome, classifique) a superfície de nível que contém o ponto
.
b) Se
, obtenha
.
c) Obtenha a expressão do campo gradiente
.
a) Se
b) Se
c) Obtenha a expressão do campo gradiente
Passo 1
Dados do enunciado:
- A função dada é
. - O ponto
. - O vetor
.
O que o enunciado pede:
a) Encontrar a equação da superfície de nível que contém e identificar/ classificar essa superfície.
b) Calcular (a derivada direcional de
em
na direção de
).
c) Obter a expressão do campo gradiente .
a) Encontrar a equação da superfície de nível que contém
b) Calcular
c) Obter a expressão do campo gradiente
Passo 2
Primeiro precisamos saber qual é o valor constante
do nível que passa por
. Calculamos
em
:
Agora avalio termo a termo:
Somando:
Portanto o nível que contém
é o conjunto dos pontos
tais que
.
Passo 3
Escrevo a equação explícita da superfície de nível encontrada:
Para classificar melhor, é conveniente colocar numa forma com o lado direito positivo. Multiplico por
:
Dividindo ambos os lados por
para ver a forma normalizada:
Passo 4
Explicação didática sobre classificação de cônicas/quádricas (resumo aplicado ao caso):
- Uma superfície quadrática do tipo
é classificada observando quantos sinais positivos e quantos negativos aparecem. - Se houver exatamente uma soma com sinal negativo (ou seja, dois termos positivos e um negativo) e o lado direito for
, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. - Se houver dois sinais negativos e um positivo (ou seja, uma única soma positiva) com RHS
, é hiperbolóide de duas folhas.
No nosso caso a forma normalizada tem dois coeficientes positivos (
e
) e um coeficiente negativo (
). Logo há exatamente um sinal negativo e o RHS é positivo, então a superfície é um hiperbolóide de uma folha.
Também confirmamos que
pertence à superfície porque já calculamos
, ou seja, substituindo
na equação do nível obtemos identidade verdadeira.
Passo 5
Agora vou obter o campo gradiente
. Primeiro recapitulo o conceito e a fórmula:
- O gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de :
- A derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes e deriva como em função de uma variável só.
Calculo cada parcial:
Portanto
Passo 6
Para calcular a derivada direcional
usamos a relação entre derivada direcional e gradiente:
- Se
é o vetor unitário na direção de , então
Ou seja, derivada direcional = produto escalar entre o gradiente em
e o vetor unitário na direção desejada.
Primeiro obtenho
substituindo em
:
Agora calculo o vetor unitário
na direção de
. O comprimento (norma) de
é
Logo o vetor unitário é
Faço o produto escalar
:
Calculo os termos:
Somando:
Portanto o produto escalar vale
.
Isso significa que a derivada direcional solicitada é
: ao primeiro ordem,
não varia na direção de
a partir de
. (Isto ocorre porque
é ortogonal ao gradiente em
.)
Resposta
a) Equação:
. Classificação: hiperbolóide de uma folha.
b)
.
c)
.