a) Encontre os pontos onde f é contínua (justifique).
b) Calcule a derivada \frac{\partial f}{\partial x}(0,0).
c) Calcule \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) num ponto (x, y) \neq(0,0).
d) Obtenha a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial \gamma}(0) sendo \gamma(t)=(t, 2 t).
As perguntas são:
a) Determinar os pontos onde f é contínua e justificar.
b) Calcular a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
c) Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para um ponto (x,y)\neq(0,0).
d) Calcular a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial \gamma}(0) onde \gamma(t)=(t,2t).
As informações úteis que o enunciado fornece são a expressão de f para (x,y)\neq(0,0) (uma razão de polinômios) e o valor f(0,0)=0. A continuidade e derivadas no ponto originário serão tratadas com limites.]
Passo 2
Primeiro vamos ver a continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0). Aqui a função é uma razão de polinômios
f(x,y)=\frac{4x^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}
com denominador x^{2}+2y^{2} que é estritamente positivo quando (x,y)\neq(0,0). Uma razão de polinômios com denominador não nulo é uma função composta de operações contínuas (adição, multiplicação, divisão por não-nulo), logo é contínua em todo ponto em que o denominador não é zero. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) tal que (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Agora a continuidade em (0,0). Precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Para isso, construímos uma desigualdade que domine |f(x,y)| por uma expressão que vai a zero quando (x,y)\to(0,0).
Observe que para todo (x,y) temos x^{2}+2y^{2}\ge x^{2}. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
A desigualdade acima é válida porque dividimos pelo menor denominador possível x^{2}. Agora, ao fazer (x,y)\to(0,0) temos |y|\to0, portanto o lado direito 4|y|\to0. Pelo Teorema do Confronto (Squeeze), segue que |f(x,y)|\to0, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Portanto f é contínua também em (0,0).
Passo 4
Conclusão sobre continuidade: juntando Passo 2 e Passo 3, f é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (isto é, em todos os pontos (x,y)).
Passo 5
Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0). Lembrete da definição: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) é o limite
Logo o quociente é \dfrac{0}{h}=0 para todo h\neq0. Assim o limite é 0. Concluímos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Passo 7
Agora queremos \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Como nesse caso a função é dada por uma razão de funções diferenciáveis (polinômios) com denominador não nulo, podemos aplicar a regra do quociente para derivadas parciais. Vou lembrar a regra do quociente para derivada parcial em relação a y:
Se \displaystyle f(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)} com D\neq0, então
Agora a derivada direcional pedida: temos a curva \gamma(t)=(t,2t). Primeiro definimos a derivada direcional ao longo de uma curva parametrizada por t pelo limite
Comentário pedagógico curto (útil para prova): temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e, calculando similarmente \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 (pois f(0,h)=0 para todo h), o vetor gradiente em (0,0) seria (0,0). Mas a derivada direcional ao longo de \gamma deu \dfrac{8}{9}\neq0. Isso mostra que f não é diferenciável (no sentido de ter aproximante linear) em (0,0) — um bom exemplo para lembrar na prova: derivadas parciais existem (e valem zero) mas a função não é diferenciável porque direções específicas podem dar outras taxas.
Resposta
a) f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
b) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
c) Para (x,y)\neq(0,0), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{4x^{2}(x^{2}-2y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})^{2}}.
d) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \gamma}(0)=\frac{8}{9}.