Para a função
f(x)= \begin{cases}\frac{4 x^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Encontre os pontos onde f é contínua (justifique).
b) Calcule a derivada \frac{\partial f}{\partial x}(0,0).
c) Calcule \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) num ponto (x, y) \neq(0,0).
d) Obtenha a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial \gamma}(0) sendo \gamma(t)=(t, 2 t).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{4x^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0 & (x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar os pontos onde f é contínua e justificar.
b) Calcular a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
c) Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para um ponto (x,y)\neq(0,0).
d) Calcular a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial \gamma}(0) onde \gamma(t)=(t,2t).
As informações úteis que o enunciado fornece são a expressão de f para (x,y)\neq(0,0) (uma razão de polinômios) e o valor f(0,0)=0. A continuidade e derivadas no ponto originário serão tratadas com limites.]

Passo 2

Primeiro vamos ver a continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0). Aqui a função é uma razão de polinômios
f(x,y)=\frac{4x^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}
com denominador x^{2}+2y^{2} que é estritamente positivo quando (x,y)\neq(0,0). Uma razão de polinômios com denominador não nulo é uma função composta de operações contínuas (adição, multiplicação, divisão por não-nulo), logo é contínua em todo ponto em que o denominador não é zero. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) tal que (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Agora a continuidade em (0,0). Precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Para isso, construímos uma desigualdade que domine |f(x,y)| por uma expressão que vai a zero quando (x,y)\to(0,0).
Observe que para todo (x,y) temos x^{2}+2y^{2}\ge x^{2}. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\left|\frac{4x^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}\right| \le \frac{4x^{2}|y|}{x^{2}}=4|y|.
A desigualdade acima é válida porque dividimos pelo menor denominador possível x^{2}. Agora, ao fazer (x,y)\to(0,0) temos |y|\to0, portanto o lado direito 4|y|\to0. Pelo Teorema do Confronto (Squeeze), segue que |f(x,y)|\to0, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Portanto f é contínua também em (0,0).

Passo 4

Conclusão sobre continuidade: juntando Passo 2 e Passo 3, f é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (isto é, em todos os pontos (x,y)).

Passo 5

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0). Lembrete da definição: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}.
Aqui fixamos y=0 e variamos apenas x.

Passo 6

Calculamos f(h,0) para h\neq0. Substituindo y=0 na expressão para (x,y)\neq(0,0),
f(h,0)=\frac{4h^{2}\cdot 0}{h^{2}+2\cdot 0^{2}}=0.
Logo o quociente é \dfrac{0}{h}=0 para todo h\neq0. Assim o limite é 0. Concluímos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.

Passo 7

Agora queremos \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Como nesse caso a função é dada por uma razão de funções diferenciáveis (polinômios) com denominador não nulo, podemos aplicar a regra do quociente para derivadas parciais. Vou lembrar a regra do quociente para derivada parcial em relação a y:
Se \displaystyle f(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)} com D\neq0, então
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{(\partial N/\partial y)\,D - N\,(\partial D/\partial y)}{D^{2}}.
Aqui N(x,y)=4x^{2}y e D(x,y)=x^{2}+2y^{2}.

Passo 8

Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial N}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}y)=4x^{2},
pois x é tratado como constante e a derivada de y em relação a y é 1.
\frac{\partial D}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2y^{2})=4y,
pois x^{2} é constante em relação a y e \frac{d}{dy}(2y^{2})=4y.

Passo 9

Aplicando a fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{(4x^{2})(x^{2}+2y^{2}) - (4x^{2}y)(4y)}{(x^{2}+2y^{2})^{2}}.
Agora desenvolvemos o numerador cuidadosamente.

Passo 10

Expandindo o numerador:
(4x^{2})(x^{2}+2y^{2}) = 4x^{4} + 8x^{2}y^{2},
e
(4x^{2}y)(4y)=16x^{2}y^{2}.
Subtraindo:
4x^{4}+8x^{2}y^{2}-16x^{2}y^{2}=4x^{4}-8x^{2}y^{2}=4x^{2}(x^{2}-2y^{2}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{4x^{2}(x^{2}-2y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})^{2}}.

Passo 11

Agora a derivada direcional pedida: temos a curva \gamma(t)=(t,2t). Primeiro definimos a derivada direcional ao longo de uma curva parametrizada por t pelo limite
\frac{\partial f}{\partial \gamma}(0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(\gamma(t))-f(\gamma(0))}{t-0} =\lim_{t\to 0}\frac{f(t,2t)-f(0,0)}{t}.
Esta é a derivada de t\mapsto f(\gamma(t)) em t=0. Note que aqui usamos a parametrização natural em que a variação do parâmetro é t.

Passo 12

Calculemos f(t,2t) para t\neq0 usando a expressão para (x,y)\neq(0,0):
f(t,2t)=\frac{4t^{2}\cdot (2t)}{t^{2}+2(2t)^{2}} =\frac{8t^{3}}{t^{2}+8t^{2}} =\frac{8t^{3}}{9t^{2}}=\frac{8}{9}t.

Passo 13

Agora o quociente para a derivada direcional:
\frac{f(t,2t)-0}{t}=\frac{\frac{8}{9}t}{t}=\frac{8}{9}.
Esse valor é constante para t\neq0, logo o limite quando t\to0 é \dfrac{8}{9}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial \gamma}(0)=\frac{8}{9}.

Passo 14

Comentário pedagógico curto (útil para prova): temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e, calculando similarmente \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 (pois f(0,h)=0 para todo h), o vetor gradiente em (0,0) seria (0,0). Mas a derivada direcional ao longo de \gamma deu \dfrac{8}{9}\neq0. Isso mostra que f não é diferenciável (no sentido de ter aproximante linear) em (0,0) — um bom exemplo para lembrar na prova: derivadas parciais existem (e valem zero) mas a função não é diferenciável porque direções específicas podem dar outras taxas.

Resposta

a) f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
b) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
c) Para (x,y)\neq(0,0), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{4x^{2}(x^{2}-2y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})^{2}}.
d) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \gamma}(0)=\frac{8}{9}.

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