Ache a derivada da função dada.
g(x)=\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+5 x-1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\sqrt[3]{\bigl(3x^{2}+5x-1\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal é derivada de função composta, usando a regra da cadeia em potências fracionárias.

Passo 2

Reescrevendo a raiz cúbica de algo ao quadrado como expoente fracionário, temos
g(x)=\bigl((3x^{2}+5x-1)^{2}\bigr)^{1/3}=(3x^{2}+5x-1)^{2/3}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder composta. Se g(x)=u(x)^{n}, então
g'(x)=n\,u(x)^{n-1}\,u'(x).
Aqui u(x)=3x^{2}+5x-1 e n=2/3. Logo
g'(x)=\frac{2}{3}\,(3x^{2}+5x-1)^{\frac{2}{3}-1}\,u'(x) =\frac{2}{3}\,(3x^{2}+5x-1)^{-1/3}\,u'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x). Como u(x)=3x^{2}+5x-1,
u'(x)=6x+5.
Substituindo em g'(x), fica
g'(x)=\frac{2}{3}\,(3x^{2}+5x-1)^{-1/3}\,(6x+5).

Passo 5

Para ficar bem claro, escrevemos de forma simplificada:
g'(x)=\frac{2\,(6x+5)}{3\,(3x^{2}+5x-1)^{1/3}}.

Resposta

g'(x)=\frac{2(6x+5)}{3\,(3x^{2}+5x-1)^{1/3}}.

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