3- Dada a funçäv f(t)=\left\{\begin{array}{l}-t,-1<t<0 \\\\ 1-t, 0<t<1\end{array}\right.\ , Determine:
a) - A expressão geral para a série de Fourier que representa a funcão.
b) - os primerros termos da série

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2\), definida em \(-1<t<1\) por \[f(t)= \begin{cases} -t, & -1<t<0,\\\\ 1-t, & 0<t<1, \end{cases}
e pede a série de Fourier em (-1,1)\]. Vamos usar a forma padrão para período \(2L com L=1:
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\pi t)+b_n\sin(n\pi t)\bigr],
onde
a_0=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt,\quad a_n=\int_{-1}^{1}f(t)\cos(n\pi t)\,dt,\quad b_n=\int_{-1}^{1}f(t)\sin(n\pi t)\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro
a_0=\int_{-1}^{0}(-t)\,dt+\int_{0}^{1}(1-t)\,dt.
Temos
\int_{-1}^{0}(-t)\,dt =-\biggl[\frac{t^2}{2}\biggr]_{-1}^{0} =-\bigl(0-\tfrac12\bigr) =\tfrac12,
\int_{0}^{1}(1-t)\,dt =\Bigl[t-\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac12 =\tfrac12.
Logo
a_0=\tfrac12+\tfrac12=1.

Passo 3

Calculamos agora
a_n =\int_{-1}^{0}(-t)\cos(n\pi t)\,dt +\int_{0}^{1}(1-t)\cos(n\pi t)\,dt.
Fazendo integração por partes em cada integral, mostra‐se que ambas se cancelam e resulta
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Para
b_n =\int_{-1}^{0}(-t)\sin(n\pi t)\,dt +\int_{0}^{1}(1-t)\sin(n\pi t)\,dt
fazemos também integração por partes em cada trecho. O resultado consolidado é
b_n=\frac{(-1)^n+1}{n\pi}.

Passo 5

Note que se n é ímpar, (-1)^n=-1 e b_n=0. Se n é par, n=2k, então (-1)^{2k}=1 e
b_{2k} =\frac{1+1}{2k\pi} =\frac{2}{2k\pi} =\frac{1}{k\pi}.
Portanto só aparecem senos de frequência par.

Passo 6

Substituindo em
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\pi t),
obtemos a série final
f(t) =\frac12 +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\pi}\sin\bigl(2k\pi t\bigr).

Passo 7

Os primeiros termos da série são
f(t) =\frac12 +\frac{1}{\pi}\sin(2\pi t) +\frac{1}{2\pi}\sin(4\pi t) +\frac{1}{3\pi}\sin(6\pi t) +\cdots.

Resposta

a)
\displaystyle f(t)=\frac12 +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\pi}\,\sin\bigl(2k\pi t\bigr).
b)
f(t)=\frac12 +\frac{1}{\pi}\sin(2\pi t) +\frac{1}{2\pi}\sin(4\pi t) +\frac{1}{3\pi}\sin(6\pi t) +\cdots.

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