1. (4 pontos) Calcule as seguintes integrais:
\int_{\pi / 2}^{\pi} \cos x \cdot \operatorname{sen}^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\;\sin^{5}x\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos \cos x\,dx multiplicando uma potência de \sin x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x \quad\Longrightarrow\quad du = \cos x\,dx.
Nos limites, quando x = \pi/2 temos u = \sin(\pi/2)=1, e quando x = \pi temos u = \sin(\pi)=0. Assim a integral vira
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,\sin^{5}x\,dx =\int_{1}^{0}u^{5}\,du.

Passo 3

Para \displaystyle\int_{1}^{0}u^{5}\,du usamos o antiderivado de u^{5}, que é
\frac{u^{6}}{6}.
Portanto
\int_{1}^{0}u^{5}\,du =\Bigl[\tfrac{u^{6}}{6}\Bigr]_{1}^{0} =0-\frac{1}{6} =-\frac{1}{6}.

Resposta

-\frac{1}{6}.

Exercícios relacionados