2- Dada a função f(t)=\left\{\begin{array}{cc}0, & -2<t<-1 \\\\ -1, & -1<t<0 \\\ t, & 0<t<1 \\\\ 0, & 1<t<2\end{array}\right.\ , Determine:
a)- A expressao geral para a série de fourier que representa a funcão.
b) - os primeinos termos da série.

Passo 1

O enunciado dá uma função f(t)\) de período \(T=4\) definida em \(-2<t<2\) por \[f(t)= \begin{cases} 0, & -2<t<-1,\\\\ -1, & -1<t<0,\\\ t, & 0<t<1,\\\\ 0, & 1<t<2, \end{cases}
e pede a série de Fourier. Vamos usar as fórmulas padrão para funções de período 2L=4\] (ou seja, \(L=2):
a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\,dt,\quad a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt,\quad b_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro o coeficiente de valor médio a_0. Como f(t)=0 em (-2,-1)\cup(1,2), temos
\int_{-2}^{2}f(t)\,dt =\int_{-1}^{0}(-1)\,dt+\int_{0}^{1}t\,dt =-1\cdot(0-(-1))+\frac{1^2}{2} =-1+\frac12 =-\frac12.
Logo
a_0=\frac{1}{2}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=-\frac{1}{4}.

Passo 3

Agora a_n. Separando os intervalos não nulos,
a_n =\frac12\Bigl[ \int_{-1}^{0}(-1)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt +\int_{0}^{1}t\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt \Bigr].
Depois de integrar por partes e simplificar, chega-se a
a_n =\frac{2}{n^2\pi^2}\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr).

Passo 4

Em seguida b_n. De modo análogo,
b_n =\frac12\Bigl[ \int_{-1}^{0}(-1)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt +\int_{0}^{1}t\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt \Bigr]
leva, após cálculo por partes, à forma fechada
b_n =\frac{1}{n\pi}\bigl(1-2\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr) +\frac{2}{n^2\pi^2}\sin(\tfrac{n\pi}{2}).

Passo 5

Com isso, a série de Fourier geral fica
f(t) =a_0 +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr) +b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr) \Bigr],
onde
a_0=-\tfrac14,\quad a_n=\frac{2}{n^2\pi^2}\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr),\quad b_n=\frac{1}{n\pi}\bigl(1-2\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr) +\frac{2}{n^2\pi^2}\sin(\tfrac{n\pi}{2}).

Passo 6

Para ver os primeiros termos, basta avaliar para n=1,2,3,\dots:
  • n=1: \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 a_1=-\frac{2}{\pi^2},\quad b_1=\frac{1}{\pi}+\frac{2}{\pi^2}.
  • n=2: \cos(\pi)=-1, \sin(\pi)=0 a_2=-\frac{1}{\pi^2},\quad b_2=\frac{3}{2\pi}.
  • n=3: \cos(\tfrac{3\pi}{2})=0, \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1 a_3=-\frac{2}{9\pi^2},\quad b_3=\frac{1}{3\pi}-\frac{2}{9\pi^2}.

Resposta

a) A expressão geral da série de Fourier é
f(t) =-\tfrac14 +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{2}{n^2\pi^2}\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr) +\Bigl(\frac{1}{n\pi}\bigl(1-2\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr) +\frac{2}{n^2\pi^2}\sin(\tfrac{n\pi}{2})\Bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr) \Bigr].
b) Os primeiros coeficientes são
\displaystyle a_1=-\tfrac{2}{\pi^2},\;b_1=\tfrac{1}{\pi}+\tfrac{2}{\pi^2};
\displaystyle a_2=-\tfrac{1}{\pi^2},\;b_2=\tfrac{3}{2\pi};
\displaystyle a_3=-\tfrac{2}{9\pi^2},\;b_3=\tfrac{1}{3\pi}-\tfrac{2}{9\pi^2}.

Exercícios relacionados