Ache a derivada da função
g(x)=integraltg(x)^x^2 1raiz2+t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
g(x)=integraltg(x)^x^21raiz2+t^4,dt
O conteúdo principal é a derivação de uma integral de variável com limites que dependem de x. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia (regra de Leibniz).

Passo 2

A regra de Leibniz para a derivada de
G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt
é
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)
Isto combina o Teorema Fundamental (que diz que ddxintegralc^u(x)f = f(u(x))u'(x)) com a subtração do termo de limite inferior.

Passo 3

No nosso caso temos
a(x)=tg(x), b(x)=x^2, f(t)=1raiz2+t^4
Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=ddxl(tg(x)r)=sec^2(x), b'(x)=ddxl(x^2r)=2x

Passo 4

Aplicando a fórmula de Leibniz:
g'(x) =;fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x) =1raiz2+(x^2)^4,2x;-;1raiz2+(tg(x))^4,sec^2(x)
Como (x^2)^4=x^8, fica
g'(x)=2xraiz2+x^8;-;sec^2(x)raiz2+tan^4(x)

Resposta

g'(x)=2xraiz2+x^8-sec^2(x)raiz2+tan^4(x)

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