Encontre a derivada da função
h(x)=integral2^1 / x arctg(t) d t
Dica. Use a regra da cadeia.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
h(x)=integral2^1/xarctg(t),dt
e queremos h'(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) aplicado a um limite superior que depende de x, combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Defina a função auxiliar
F(u)=integral2^uarctg(t),dt
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
F'(u)=arctg(u)
Note que h(x)=Fl(1/xr).

Passo 3

Para obter h'(x), aplicamos a regra da cadeia em
h(x)=Fl(1/xr)
Assim,
h'(x)=F'l(1/xr)cdotddxl(1/xr)

Passo 4

Já sabemos que F'(u)=arctg(u). Logo,
F'l(1/xr)=arctgl(1/xr)
E a derivada de 1/x é
ddxl(1/xr)=-1x^2

Passo 5

Multiplicando esses dois resultados, obtemos
h'(x) =arctgl(1/xr),l(-1x^2r) =-1x^2;arctg!l(1/xr)

Resposta

boxedh'(x)=-1x^2;arctgl(tfrac1xr)

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