1. Encontre a derivada de y=\sin ^{4}\left(e^{\sin -(x)}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=\sin^{4}\!\bigl(e^{\sin^{-1}(x)}\bigr). Vou interpretar aqui \sin^{-1}(x) como a função arco-seno, i.e. \arcsin x.
Informações relevantes dadas:
  • A função é y=\sin^{4}\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr).
  • O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Lembrete importante sobre domínio: \arcsin x exige x\in(-1,1) (nos pontos extremos a derivada apresenta singularidade por \sqrt{1-x^{2}} no denominador).

Passo 2

Plano de ataque (passo a passo, sem ainda calcular): a expressão tem várias funções compostas (potência, seno, exponencial, arco-seno). Vamos aplicar a regra da cadeia repetidamente: para uma composição y=f(g(x)), vale \dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui teremos várias camadas, então vamos decompor em funções intermediárias e derivar cada uma, multiplicando conforme a regra da cadeia.

Passo 3

Fazer substituições para ficar claro:
u(x)=\sin\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr), \qquad y(x)=u(x)^{4}.
Isso significa que y=u^{4} com u=\sin(v) e v=e^{\arcsin x}. Em cascata:
y=u^{4},\quad u=\sin v,\quad v=e^{\arcsin x}.

Passo 4

Derivar a camada mais externa: y=u^{4}.
Aplicando a regra da potência (se y=u^{n} então \dfrac{dy}{du}=n u^{n-1}), obtemos:
\frac{dy}{du}=4u^{3}.
Explicação curta: a derivada de u^{4} em relação a u é 4u^{3} porque se multiplica o expoente por u elevado ao expoente menos um.

Passo 5

Derivar a próxima camada: u=\sin v.
A derivada da função seno é \dfrac{d}{dv}\sin v=\cos v. Logo:
\frac{du}{dv}=\cos v.
Aqui v é o argumento interno (ainda não derivado em relação a x).

Passo 6

Derivar v em relação a x: v=e^{\arcsin x}.
Isto é uma composição de exponencial com \arcsin x. Duas peças:
  • A derivada da exponencial é \dfrac{d}{dw}e^{w}=e^{w}.
  • A derivada da função arco-seno é \dfrac{d}{dx}\arcsin x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, válida para x\in(-1,1).
Usando a regra da cadeia para v=e^{\arcsin x}:
\frac{dv}{dx}=e^{\arcsin x}\cdot\frac{d}{dx}(\arcsin x) = e^{\arcsin x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Explicação da última fórmula: primeiro derivou-se e^{w} em relação a w (dando e^{w}) e depois multiplicou-se pela derivada de w=\arcsin x.

Passo 7

Agora aplicar a regra da cadeia completa, multiplicando as derivadas das camadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.
Substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores:
\frac{dy}{dx} = \bigl(4u^{3}\bigr)\cdot\bigl(\cos v\bigr)\cdot\left(e^{\arcsin x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Agora voltamos às substituições u=\sin\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr) e v=e^{\arcsin x} para escrever tudo em termos de x.

Passo 8

Reescrevendo em termos de x e simplificando:
\frac{dy}{dx} =4\bigl(\sin^{3}\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr)\bigr)\cdot\cos\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr)\cdot e^{\arcsin x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Podemos juntar os fatores:
\boxed{\frac{dy}{dx} = \dfrac{4\,\sin^{3}\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr)\,\cos\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr)\,e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^{2}}}.}
Comentário final: essa é a forma direta e bastante clara da derivada. Lembre-se do domínio x\in(-1,1) por causa de \sqrt{1-x^{2}}. Se quiser, dá para deixar e^{\arcsin x} denotado por outra letra para abreviar, mas essa forma já é pronta para uso em prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\,\sin^{3}\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr)\,\cos\!\bigl(e^{\arcsin x}\bigr)\,e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^{2}}}

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