- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
. Vou interpretar aqui
como a função arco-seno, i.e.
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O objetivo é calcular
. - Lembrete importante sobre domínio:
exige (nos pontos extremos a derivada apresenta singularidade por no denominador).
Passo 2
Plano de ataque (passo a passo, sem ainda calcular): a expressão tem várias funções compostas (potência, seno, exponencial, arco-seno). Vamos aplicar a regra da cadeia repetidamente: para uma composição
, vale
. Aqui teremos várias camadas, então vamos decompor em funções intermediárias e derivar cada uma, multiplicando conforme a regra da cadeia.
Passo 3
Fazer substituições para ficar claro:
Isso significa que
com
e
. Em cascata:
Passo 4
Derivar a camada mais externa:
.
Aplicando a regra da potência (se então
), obtemos:
Aplicando a regra da potência (se
Explicação curta: a derivada de
em relação a
é
porque se multiplica o expoente por
elevado ao expoente menos um.
Passo 5
Derivar a próxima camada:
.
A derivada da função seno é . Logo:
A derivada da função seno é
Aqui
é o argumento interno (ainda não derivado em relação a
).
Passo 6
Derivar
em relação a
:
.
Isto é uma composição de exponencial com . Duas peças:
Isto é uma composição de exponencial com
- A derivada da exponencial é
. - A derivada da função arco-seno é
, válida para .
Usando a regra da cadeia para
:
Explicação da última fórmula: primeiro derivou-se
em relação a
(dando
) e depois multiplicou-se pela derivada de
.
Passo 7
Agora aplicar a regra da cadeia completa, multiplicando as derivadas das camadas:
Substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores:
Agora voltamos às substituições
e
para escrever tudo em termos de
.
Passo 8
Reescrevendo em termos de
e simplificando:
Podemos juntar os fatores:
Comentário final: essa é a forma direta e bastante clara da derivada. Lembre-se do domínio
por causa de
. Se quiser, dá para deixar
denotado por outra letra para abreviar, mas essa forma já é pronta para uso em prova.