1. Sejam as 6 funções hiperbólicas \operatorname{sinh} x, \operatorname{cosh} x, \operatorname{tanh} x, \operatorname{cossech} x, \operatorname{sech} x e cotghx. Obtenha as derivadas dessas funções.

Passo 1

O enunciado pede para obter as derivadas das seis funções hiperbólicas abaixo (ainda que alguns nomes estejam escritos de formas diferentes, vou interpretar do modo padrão):
  • \operatorname{sinh} x
  • \operatorname{cosh} x
  • \operatorname{tanh} x
  • \operatorname{cosech} x (a hiperbólica cosecante, também escrita \operatorname{csch}x)
  • \operatorname{sech} x
  • \coth x
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Queremos as derivadas em relação a x: isto é, encontrar \dfrac{d}{dx}(\cdot) para cada uma.
  • Não há valores numéricos: pedem as fórmulas gerais.

Passo 2

Definições usuais (em termos de exponenciais) — é muito útil porque permite derivar com regras básicas:
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
Funções recíprocas e quocientes definidas a partir dessas:
\operatorname{tanh} x = \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x},\qquad \operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh} x},\qquad \operatorname{cosech}x=\frac{1}{\operatorname{sinh} x},\qquad \coth x=\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}.
Regras de derivação que vamos usar (lembrete rápido):
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x} (regra da cadeia).
  • Derivada de quociente: se u=v/w então \dfrac{du}{dx}=\dfrac{v'w-vw'}{w^{2}}.
  • Derivada de recíproco: \dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{g(x)}\bigr)=-\dfrac{g'(x)}{g(x)^{2}}.
    Também usaremos a identidade hiperbólica fundamental, que seguirá da definição exponencial:
\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1.

Passo 3

Derivada de \operatorname{sinh} x.
Usando a definição em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Derivando termo a termo (cada exponencial dentro de \(\cdot)):
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-(-e^{-x})\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr).
Reconhecendo a definição de \operatorname{cosh} x, obtemos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x.
Explicação curta: a derivada de e^{-x} é -e^{-x}, e o sinal menos do numerador vira mais quando multiplicado por esse -; no fim sobra exatamente a definição de \operatorname{cosh} x.

Passo 4

Derivada de \operatorname{cosh} x.
Começando pela definição:
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Derivando:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}+(-e^{-x})\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr).
Isso é exatamente \operatorname{sinh} x. Logo:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x.
Observação didática: note a simetria entre \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}: derivar uma dá a outra (sem sinais negativos aqui).

Passo 5

Derivada de \operatorname{tanh} x.
Usamos \operatorname{tanh} x=\dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} e a regra do quociente. Defina u=\operatorname{sinh} x e v=\operatorname{cosh} x. Então u'=\operatorname{cosh} x (Passo 3) e v'=\operatorname{sinh} x (Passo 4). Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\operatorname{cosh} x\cdot\operatorname{cosh} x-\operatorname{sinh} x\cdot\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{2}x}.
No numerador aparece \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x, e pela identidade hiperbólica fundamental isso vale 1. Assim:
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}x}.
Usualmente essa forma é escrita com \operatorname{sech}:
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\operatorname{sech}^{2}x.
Outra forma alternativa (útil na prova): usando \operatorname{sech}^{2}x=1-\operatorname{tanh}^{2}x (derivada também pode aparecer nesse formato).

Passo 6

Derivada de \operatorname{sech}x.
Lembrando \operatorname{sech}x=\dfrac{1}{\operatorname{cosh} x}. Usamos a regra do recíproco:
\frac{d}{dx}\operatorname{sech}x=-\frac{\operatorname{cosh}' x}{\operatorname{cosh}^{2}x}.
Como \operatorname{cosh}' x=\operatorname{sinh} x (Passo 4), temos
\frac{d}{dx}\operatorname{sech}x=-\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{2}x}.
Simplificando escrevendo em termos de \operatorname{sech} e \operatorname{tanh}:
-\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{2}x}=-\left(\frac{1}{\operatorname{cosh} x}\right)\left(\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\right)=-\operatorname{sech}x\;\operatorname{tanh} x.
Portanto a forma prática e comum é:
\frac{d}{dx}\operatorname{sech}x=-\operatorname{sech}x\;\operatorname{tanh} x.

Passo 7

Derivada de \operatorname{cosech}x (também escrita \operatorname{csch}x).
Temos \operatorname{cosech}x=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} x}. Aplicando a regra do recíproco:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosech}x=-\frac{\operatorname{sinh}' x}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
Como \operatorname{sinh}' x=\operatorname{cosh} x (Passo 3), obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{cosech}x=-\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
Podemos escrever isso em termos de \operatorname{coth} e \operatorname{cosech}: note que \operatorname{coth}x=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x} e \operatorname{cosech}x=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} x}, então
-\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^{2}x}= -\left(\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}\right)\left(\frac{1}{\operatorname{sinh} x}\right)=-\operatorname{coth}x\;\operatorname{cosech}x.
Assim a forma usual é:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosech}x=-\operatorname{coth}x\;\operatorname{cosech}x.

Passo 8

Derivada de \coth x.
Usando \coth x=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x} e a regra do quociente com u=\operatorname{cosh} x, v=\operatorname{sinh} x. Temos u'=\operatorname{sinh} x e v'=\operatorname{cosh} x. Então:
\frac{d}{dx}\coth x=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\operatorname{sinh} x\cdot\operatorname{sinh} x-\operatorname{cosh} x\cdot\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
O numerador é \operatorname{sinh}^{2}x-\operatorname{cosh}^{2}x=-(\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x)=-1 (pela identidade). Logo
\frac{d}{dx}\coth x=-\frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
Escrevendo com \operatorname{cosech}:
\frac{d}{dx}\coth x=-\operatorname{cosech}^{2}x.
Obs.: também se pode usar a relação -\operatorname{cosech}^{2}x=1-\coth^{2}x se preferir um formato em termos de \coth.

Resposta

\dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\operatorname{sech}^{2}x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{cosech}x=-\operatorname{coth}x\;\operatorname{cosech}x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech}x=-\operatorname{sech}x\;\operatorname{tanh} x
\dfrac{d}{dx}\coth x=-\operatorname{cosech}^{2}x

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