- Sejam as 6 funções hiperbólicas
e cotghx. Obtenha as derivadas dessas funções.
Passo 1
O enunciado pede para obter as derivadas das seis funções hiperbólicas abaixo (ainda que alguns nomes estejam escritos de formas diferentes, vou interpretar do modo padrão):
-
-
-
-
(a hiperbólica cosecante, também escrita ) -
-
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Queremos as derivadas em relação a
: isto é, encontrar para cada uma. - Não há valores numéricos: pedem as fórmulas gerais.
Passo 2
Definições usuais (em termos de exponenciais) — é muito útil porque permite derivar com regras básicas:
Funções recíprocas e quocientes definidas a partir dessas:
Regras de derivação que vamos usar (lembrete rápido):
-
e (regra da cadeia). - Derivada de quociente: se
então . - Derivada de recíproco:
.
Também usaremos a identidade hiperbólica fundamental, que seguirá da definição exponencial:
Passo 3
Derivada de
.
Usando a definição em termos de exponenciais:
Derivando termo a termo (cada exponencial dentro de
)):
Reconhecendo a definição de
, obtemos:
Explicação curta: a derivada de
é
, e o sinal menos do numerador vira mais quando multiplicado por esse
; no fim sobra exatamente a definição de
.
Passo 4
Derivada de
.
Começando pela definição:
Derivando:
Isso é exatamente
. Logo:
Observação didática: note a simetria entre
e
: derivar uma dá a outra (sem sinais negativos aqui).
Passo 5
Derivada de
.
Usamos
e a regra do quociente. Defina
e
. Então
(Passo 3) e
(Passo 4). Aplicando a regra do quociente:
No numerador aparece
, e pela identidade hiperbólica fundamental isso vale
. Assim:
Usualmente essa forma é escrita com
:
Outra forma alternativa (útil na prova): usando
(derivada também pode aparecer nesse formato).
Passo 6
Derivada de
.
Lembrando
. Usamos a regra do recíproco:
Como
(Passo 4), temos
Simplificando escrevendo em termos de
e
:
Portanto a forma prática e comum é:
Passo 7
Derivada de
(também escrita
).
Temos
. Aplicando a regra do recíproco:
Como
(Passo 3), obtemos
Podemos escrever isso em termos de
e
: note que
e
, então
Assim a forma usual é:
Passo 8
Derivada de
.
Usando
e a regra do quociente com
,
. Temos
e
. Então:
O numerador é
(pela identidade). Logo
Escrevendo com
:
Obs.: também se pode usar a relação
se preferir um formato em termos de
.