1. Encontre \frac{d y}{d r} derivando implicitamente x^{2} y^{2}+x \sin (y)=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x^{2}y^{2} + x\sin(y) = 4.
Pede-se encontrar \dfrac{dy}{dr} derivando implicitamente. Vou assumir que tanto x quanto y são funções da mesma variável independente r, ou seja x=x(r) e y=y(r).
Informações relevantes:
  • A equação relaciona x e y sem dar y explicitamente.
  • Queremos \dfrac{dy}{dr} em termos de x, y e \dfrac{dx}{dr}.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se u(r) e v(r) são funções de r, então
\frac{d}{dr}\big(u v\big) = u'\,v + u\,v',
onde u'=\dfrac{du}{dr} e v'=\dfrac{dv}{dr}. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dr}(r^2\cdot \sin r) = 2r\sin r + r^2\cos r.
  • Regra da cadeia: se f é função de y e y=y(r), então
\frac{d}{dr}f(y) = f'(y)\,y'.
Exemplo: \dfrac{d}{dr}\sin(y(r)) = \cos(y(r))\cdot y'(r).
  • Derivada de constante é zero: \dfrac{d}{dr}4 = 0.
Para abreviar escrevo
x'=\frac{dx}{dr},\qquad y'=\frac{dy}{dr}.

Passo 3

Derivo o primeiro termo x^{2}y^{2} usando a regra do produto (tomando u=x^{2} e v=y^{2}):
\frac{d}{dr}\big(x^{2}y^{2}\big) = \frac{d}{dr}(x^{2})\cdot y^{2} + x^{2}\cdot\frac{d}{dr}(y^{2}).
Agora aplico a regra da cadeia a cada quadrado:
\frac{d}{dr}(x^{2}) = 2x\cdot x', \qquad \frac{d}{dr}(y^{2}) = 2y\cdot y'.
Portanto
\frac{d}{dr}\big(x^{2}y^{2}\big) = 2x x' y^{2} + x^{2}\cdot 2y y' = 2x x' y^{2} + 2x^{2}y\,y'.

Passo 4

Derivo o segundo termo x\sin(y). Também é produto (com u=x e v=\sin(y)):
\frac{d}{dr}\big(x\sin(y)\big) = x'\sin(y) + x\cdot\frac{d}{dr}\sin(y).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dr}\sin(y) = \cos(y)\,y'.
Logo
\frac{d}{dr}\big(x\sin(y)\big) = x'\sin(y) + x\cos(y)\,y'.

Passo 5

Juntando as derivadas dos dois termos e lembrando que a derivada do lado direito 4 é 0, obtemos:
2x x' y^{2} + 2x^{2}y\,y' + x'\sin(y) + x\cos(y)\,y' = 0.
Agrupando os termos que contêm y' e os que contêm x':
\big(2x^{2}y + x\cos(y)\big)\,y' + \big(2x y^{2} + \sin(y)\big)\,x' = 0.
Agora isolo y': passo o segundo termo para o outro lado e divido pelo coeficiente de y'.

Resposta

\frac{dy}{dr}=-\,\frac{\dfrac{dx}{dr}\,\big(2x y^{2} + \sin(y)\big)}{2x^{2}y + x\cos(y)}.

Exercícios relacionados