Ache a derivada parcial indicada:

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de
f(x,y)=x+yraizy^2-x^2
em relação a ,y. Vamos usar a regra do produto e, para a raiz, a regra da cadeia reescrevendo raizy^2-x^2 como (y^2-x^2)^1/2.

Passo 2

Reescrevendo em forma de produto:
f(x,y) = (x+y),(y^2 - x^2)^-1/2
Pela regra do produto,
partial fpartial y = partialpartial y(x+y),(y^2 - x^2)^-1/2 + (x+y),partialpartial yl[(y^2 - x^2)^-1/2r]

Passo 3

Calculando cada termo:
partialpartial y(x+y)=1,
e pela regra da cadeia
partialpartial y(y^2 - x^2)^-1/2 = -tfrac12,(y^2 - x^2)^-3/2cdot 2y = -y,(y^2 - x^2)^-3/2
Logo
partial fpartial y = (y^2 - x^2)^-1/2 - y,(x+y),(y^2 - x^2)^-3/2

Passo 4

Para simplificar, colocamos as duas parcelas sobre o mesmo denominador (y^2-x^2)^3/2:
partial fpartial y = 1raizy^2-x^2 - y(x+y)(y^2-x^2)^3/2 = (y^2-x^2)-y(x+y)(y^2-x^2)^3/2 = -x(x+y)(y^2-x^2)^3/2

Resposta

partial fpartial y = -x,(x+y)(y^2 - x^2)^3/2

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