Questão 99: Dada
. Encontre um ponto (
) onde a taxa máxima de variação seja 10 e ocorra na direção do vetor ( 3,4 ).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar um ponto
que satisfaça duas condições:
- a taxa máxima de variação de
naquele ponto vale ; - essa taxa máxima ocorre na direção do vetor
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função:
. - O vetor direção dado:
. - Valor desejado da taxa máxima de variação:
.
Passo 2
Entendendo o que é “taxa máxima de variação” e como ela se relaciona com o gradiente (aula curta e prática).
- Para uma função escalar de duas variáveis
, o vetor gradiente é definido por
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
.
- Propriedade importante: a maior taxa de variação de
num ponto (isto é, o máximo entre todas as derivadas direcionais naquele ponto) é igual à norma do gradiente naquele ponto:
- Além disso, a direção em que ocorre essa taxa máxima é exatamente a direção do vetor
(ou seja, quando o vetor direção é paralelo ao gradiente). - Para um vetor dado
, seu comprimento (norma) é
Passo 3
Calcular o gradiente de
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Logo o gradiente é
Passo 4
Usar a condição "a direção da taxa máxima é a direção do vetor
".
- Isso significa que
deve ser paralelo a . Em termos algébricos, existe um escalar tal que
- Em componentes, isso dá o sistema
Passo 5
Usar a condição "a taxa máxima vale
".
- A taxa máxima é
. Se , então a norma do gradiente é
- Queremos
. Portanto
- Como o enunciado diz que a taxa máxima "ocorre na direção do vetor
" (e não na direção oposta), tomamos , logo
Passo 6
Determinar
e
a partir de
e das equações do Passo 4.
- Substituindo
em temos
- Substituindo
em temos
Passo 7
Verificação rápida (confirmação de que as condições são satisfeitas).
- Gradiente no ponto encontrado:
. - Norma desse gradiente:
que é exatamente a taxa máxima pedida.
- Além disso,
, ou seja, o gradiente é paralelo e aponta na mesma direção de . Todas as condições estão satisfeitas.