Questão 99: Dada f(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2}. Encontre um ponto ( x_{0}, y_{0} ) onde a taxa máxima de variação seja 10 e ocorra na direção do vetor ( 3,4 ).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}+3y^{2} e pede para encontrar um ponto (x_{0},y_{0}) que satisfaça duas condições:
  • a taxa máxima de variação de f naquele ponto vale 10;
  • essa taxa máxima ocorre na direção do vetor (3,4).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função: f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}.
  • O vetor direção dado: (3,4).
  • Valor desejado da taxa máxima de variação: 10.

Passo 2

Entendendo o que é “taxa máxima de variação” e como ela se relaciona com o gradiente (aula curta e prática).
  • Para uma função escalar de duas variáveis f(x,y), o vetor gradiente é definido por
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y.
  • Propriedade importante: a maior taxa de variação de f num ponto (isto é, o máximo entre todas as derivadas direcionais naquele ponto) é igual à norma do gradiente naquele ponto:
\text{taxa máxima} = \|\nabla f(x,y)\|.á
  • Além disso, a direção em que ocorre essa taxa máxima é exatamente a direção do vetor \nabla f(x,y) (ou seja, quando o vetor direção é paralelo ao gradiente).
  • Para um vetor dado (3,4), seu comprimento (norma) é
\|(3,4)\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Calcular o gradiente de f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=6y.
  • Logo o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y)=(4x,\,6y).

Passo 4

Usar a condição "a direção da taxa máxima é a direção do vetor (3,4)".
  • Isso significa que \nabla f(x,y) deve ser paralelo a (3,4). Em termos algébricos, existe um escalar \lambda tal que
(4x,\,6y)=\lambda(3,4).
  • Em componentes, isso dá o sistema
4x=3\lambda,\qquad 6y=4\lambda.

Passo 5

Usar a condição "a taxa máxima vale 10".
  • A taxa máxima é \|\nabla f(x,y)\|. Se (4x,6y)=\lambda(3,4), então a norma do gradiente é
\|\nabla f\|=|\lambda|\,\|(3,4)\|=|\lambda|\cdot 5.
  • Queremos \|\nabla f\|=10. Portanto
|\lambda|\cdot 5=10 \quad\Rightarrow\quad |\lambda|=2.
  • Como o enunciado diz que a taxa máxima "ocorre na direção do vetor (3,4)" (e não na direção oposta), tomamos \lambda>0, logo
\lambda=2.

Passo 6

Determinar x e y a partir de \lambda=2 e das equações do Passo 4.
  • Substituindo \lambda=2 em 4x=3\lambda temos
4x=3\cdot 2=6 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
  • Substituindo \lambda=2 em 6y=4\lambda temos
6y=4\cdot 2=8 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação de que as condições são satisfeitas).
  • Gradiente no ponto encontrado: \nabla f\!\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{4}{3}\right)=(4x,6y)=(6,8).
  • Norma desse gradiente:
\|(6,8)\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10,
que é exatamente a taxa máxima pedida.
  • Além disso, (6,8)=2(3,4), ou seja, o gradiente é paralelo e aponta na mesma direção de (3,4). Todas as condições estão satisfeitas.

Resposta

\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{4}{3}\right)

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