Ache a derivada total
frac{d u}{d t} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de (x, y) e (z) antes da diferenciação.
(u=y e^{x}+x e^{y} ; x=cos t ; y=operatorname{sen} t)
frac{d u}{d t} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de (x, y) e (z) antes da diferenciação.
(u=y e^{x}+x e^{y} ; x=cos t ; y=operatorname{sen} t)
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- A função de duas variáveis é
. - As variáveis dependem de
por e . - O pedido: achar a derivada total
por dois métodos:
(a) usando a regra da cadeia (calcular parciais e multiplicar por, );
(b) primeiro substituirem para obter e depois diferenciar.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia para função de duas variáveis (a lição rápida):
- Se
e , , a derivada total de em relação a é
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante) e é a derivada parcial em relação a (tratando como constante). - Intuição curta: pequenas mudanças em
mudam e ; a variação total de soma a contribuição de cada via.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
para usar a fórmula da cadeia.
- Começando por
. Em trate como constante: - Derivada de
em relação a é (produto de constante por ). - Derivada de
em relação a é (pois é constante quando derivamos em relação a ).
Portanto
- Derivada de
- Agora
. Trate como constante: - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto
- Derivada de
Passo 4
Calcular
e
a partir de
e
:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Esse é o resultado da aplicação direta da fórmula; ainda podemos substituir
e
para escrever tudo em função de
.
Passo 5
Substituindo
e
e agrupando os termos por
e
:
- Primeiro escrevendo com
e :
- Agrupando
e :
- Agora substituindo
e em cada coeficiente:
Essa é a forma explícita em termos de
obtida pelo método (a).
Passo 6
Método (b): primeiro substituir e depois derivar (produto + cadeia).
- Substituindo em
:
- Diferenciando termo a termo. Para
usamos a regra do produto: . -
tem . -
tem e , logo .
Assim
-
- Para
: -
tem . -
tem .
Assim
-
- Somando as duas derivadas:
Repare que é exatamente o mesmo resultado obtido no método (a), como deve acontecer.
Passo 7
Resumo didático curto e motivador:
- No método (a) a ideia é primeiro achar as parciais
e e depois multiplicar por e . É rápido quando já se sabe as parciais. - No método (b) faz-se a substituição para obter uma função univariada
e aplica-se produto+cadeia normalmente. É mais direto e costuma ser mais simples quando e são funções conhecidas (como seno e cosseno).
Você pode usar qualquer um dos dois na prova; os dois dão o mesmo resultado — ótimo sinal!