Ache a derivada total
frac{d u}{d t} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de (x, y) e (z) antes da diferenciação.
(u=y e^{x}+x e^{y} ; x=cos t ; y=operatorname{sen} t)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • A função de duas variáveis é u(x,y)=y e^{x}+x e^{y}.
  • As variáveis dependem de t por x=\cos t e y=\sin t.
  • O pedido: achar a derivada total \dfrac{du}{dt} por dois métodos:
    (a) usando a regra da cadeia (calcular parciais e multiplicar por dx/dt, dy/dt);
    (b) primeiro substituir x(t),y(t) em u para obter u(t) e depois diferenciar.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia para função de duas variáveis (a lição rápida):
  • Se u=u(x,y) e x=x(t), y=y(t), a derivada total de u em relação a t é
\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
  • Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x (tratando y como constante) e \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante).
  • Intuição curta: pequenas mudanças em t mudam x e y; a variação total de u soma a contribuição de cada via.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} para usar a fórmula da cadeia.
  • Começando por \dfrac{\partial u}{\partial x}. Em u=y e^{x}+x e^{y} trate y como constante:
    • Derivada de y e^{x} em relação a x é y e^{x} (produto de constante y por e^{x}).
    • Derivada de x e^{y} em relação a x é e^{y} (pois e^{y} é constante quando derivamos em relação a x).
      Portanto
    \frac{\partial u}{\partial x}=y e^{x}+e^{y}.
  • Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}. Trate x como constante:
    • Derivada de y e^{x} em relação a y é e^{x}.
    • Derivada de x e^{y} em relação a y é x e^{y}.
      Portanto
    \frac{\partial u}{\partial y}=e^{x}+x e^{y}.

Passo 4

Calcular dx/dt e dy/dt a partir de x=\cos t e y=\sin t:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\cos t.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{du}{dt}=\bigl(y e^{x}+e^{y}\bigr)\cdot(-\sin t)+\bigl(e^{x}+x e^{y}\bigr)\cdot\cos t.
Esse é o resultado da aplicação direta da fórmula; ainda podemos substituir x=\cos t e y=\sin t para escrever tudo em função de t.

Passo 5

Substituindo x=\cos t e y=\sin t e agrupando os termos por e^{x} e e^{y}:
  • Primeiro escrevendo com e^{x} e e^{y}:
\frac{du}{dt}= -y e^{x}\sin t - e^{y}\sin t + e^{x}\cos t + x e^{y}\cos t.
  • Agrupando e^{x} e e^{y}:
\frac{du}{dt}= e^{x}\bigl(-y\sin t+\cos t\bigr) + e^{y}\bigl(-\sin t + x\cos t\bigr).
  • Agora substituindo x=\cos t e y=\sin t em cada coeficiente:
\frac{du}{dt}= e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^{2}t\bigr) + e^{\sin t}\bigl(\cos^{2}t-\sin t\bigr).
Essa é a forma explícita em termos de t obtida pelo método (a).

Passo 6

Método (b): primeiro substituir e depois derivar (produto + cadeia).
  • Substituindo em u:
u(t)=\sin t\;e^{\cos t}+\cos t\;e^{\sin t}.
  • Diferenciando termo a termo. Para \sin t\,e^{\cos t} usamos a regra do produto: (fg)'=f'g+fg'.
    • f=\sin t tem f'=\cos t.
    • g=e^{\cos t} tem g'=e^{\cos t}\cdot(\cos t)' e (\cos t)'=-\sin t, logo g'=-\sin t\,e^{\cos t}.
      Assim
    \frac{d}{dt}\bigl(\sin t\,e^{\cos t}\bigr)=\cos t\,e^{\cos t}+\sin t\bigl(-\sin t\,e^{\cos t}\bigr) =e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^{2}t\bigr).
  • Para \cos t\,e^{\sin t}:
    • f=\cos t tem f'=-\sin t.
    • g=e^{\sin t} tem g'=e^{\sin t}\cdot(\sin t)'=e^{\sin t}\cos t.
      Assim
    \frac{d}{dt}\bigl(\cos t\,e^{\sin t}\bigr)=-\sin t\,e^{\sin t}+\cos t\bigl(\cos t\,e^{\sin t}\bigr) =e^{\sin t}\bigl(\cos^{2}t-\sin t\bigr).
  • Somando as duas derivadas:
\frac{du}{dt}=e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^{2}t\bigr)+e^{\sin t}\bigl(\cos^{2}t-\sin t\bigr).
Repare que é exatamente o mesmo resultado obtido no método (a), como deve acontecer.

Passo 7

Resumo didático curto e motivador:
  • No método (a) a ideia é primeiro achar as parciais \partial u/\partial x e \partial u/\partial y e depois multiplicar por dx/dt e dy/dt. É rápido quando já se sabe as parciais.
  • No método (b) faz-se a substituição para obter uma função univariada u(t) e aplica-se produto+cadeia normalmente. É mais direto e costuma ser mais simples quando x(t) e y(t) são funções conhecidas (como seno e cosseno).
    Você pode usar qualquer um dos dois na prova; os dois dão o mesmo resultado — ótimo sinal!

Resposta

\displaystyle \frac{du}{dt}=e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^{2}t\bigr)+e^{\sin t}\bigl(\cos^{2}t-\sin t\bigr)

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