Ache a derivada em termos de seno e cosseno:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas: a função está escrita em termos das funções trigonométricas
e
. A tarefa é encontrar
e expressá-la em termos de seno e cosseno (ou seja, usando apenas
e
). Não há outras condições nem pontos especiais fornecidos.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a função usando somente seno e cosseno para ficar mais fácil de derivar. Lembrando que
, então
Também é conveniente reescrever como produto para aplicar regras de derivação com clareza:
Passo 3
Vamos usar a regra do produto: se
e
são funções,
.
Aqui tome e
. Precisamos de
e
.
Aqui tome
Lembrete das derivadas básicas:
Passo 4
Calcular
e
:
Para
usamos a regra da cadeia: se
então
.
Aqui e
. Assim
Aqui
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Agora vamos simplificar termo a termo. O primeiro termo:
O segundo termo:
Somando:
Passo 6
Colocar em denominador comum
para simplificar:
logo
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Portanto