Ache a derivada em termos de seno e cosseno:
f(x)=\frac{\cot x}{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\cot x}{\sin x}.
Informações dadas: a função está escrita em termos das funções trigonométricas \cot x e \sin x. A tarefa é encontrar f'(x) e expressá-la em termos de seno e cosseno (ou seja, usando apenas \sin x e \cos x). Não há outras condições nem pontos especiais fornecidos.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a função usando somente seno e cosseno para ficar mais fácil de derivar. Lembrando que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, então
f(x)=\frac{\cot x}{\sin x}=\frac{\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x}=\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Também é conveniente reescrever como produto para aplicar regras de derivação com clareza:
f(x)=\cos x\cdot \sin^{-2} x.

Passo 3

Vamos usar a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.
Aqui tome u(x)=\cos x e v(x)=\sin^{-2} x. Precisamos de u'(x) e v'(x).
Lembrete das derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.

Passo 4

Calcular u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Para v(x)=\sin^{-2} x usamos a regra da cadeia: se v(x)=(w(x))^n então v'(x)=n(w(x))^{n-1}w'(x).
Aqui w(x)=\sin x e n=-2. Assim
v'(x)=-2\,\sin^{-3} x\cdot \frac{d}{dx}(\sin x)=-2\,\sin^{-3} x\cdot \cos x.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
f'(x)=\big(-\sin x\big)\sin^{-2} x+\cos x\big(-2\,\sin^{-3} x\cdot \cos x\big).
Agora vamos simplificar termo a termo. O primeiro termo:
-\sin x\cdot \sin^{-2} x=-\sin^{-1} x=-\frac{1}{\sin x}.
O segundo termo:
\cos x\cdot\big(-2\,\sin^{-3} x\cdot \cos x\big)=-2\frac{\cos^2 x}{\sin^3 x}.
Somando:
f'(x)=-\frac{1}{\sin x}-2\frac{\cos^2 x}{\sin^3 x}.

Passo 6

Colocar em denominador comum \sin^3 x para simplificar:
-\frac{1}{\sin x}=-\frac{\sin^2 x}{\sin^3 x},
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f'(x)=-\frac{\sin^2 x}{\sin^3 x}-\frac{2\cos^2 x}{\sin^3 x}=-\frac{\sin^2 x+2\cos^2 x}{\sin^3 x}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1, obtemos
\sin^2 x+2\cos^2 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)+\cos^2 x=1+\cos^2 x.
Portanto
f'(x)=-\frac{1+\cos^2 x}{\sin^3 x}.

Resposta

-\frac{1+\cos^2 x}{\sin^3 x}

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