Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=3 \tan \left(\pi * x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas da função dada. A função fornecida é
f(x)=3 \tan\bigl(\pi * x^{2}\bigr).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f(x)=3\tan\bigl(\pi x^{2}\bigr).
  • Queremos a derivada em relação à variável escrita (por exemplo f'(x)) e também equivalentes se a variável for nomeada de outra maneira (por exemplo f'(u), h'(t), etc.).
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função para poder aplicar regras de derivação passo a passo, como se fosse um sanduíche: a constante por fora, a função tangente no meio e uma função de x dentro da tangente.
  • Constante multiplicativa: 3.
  • Função externa (sem contar o 3): \tan(\cdot).
  • Função interna (o “ \cdot” dentro da tangente): \pi x^{2}.
    Definimos explicitamente a função interna para facilitar:
u(x)=\pi x^{2}.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra do fator constante: se F(x)=c\cdot G(x) com c constante, então F'(x)=c\cdot G'(x).
  • Regra da cadeia: se y=G(H(x)), então
y'=G'\bigl(H(x)\bigr)\cdot H'(x).
Isto significa que derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da interna.
  • Derivada da tangente: podemos obter derivando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. O resultado conhecido (e que podemos usar) é
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Aqui \operatorname{sec} x é 1/\cos x. Então, por cadeia, se temos \tan(u(x)),
\frac{d}{dx}\tan\bigl(u(x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Derivada de x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivada de uma constante multiplicada por x^{2}: se u(x)=\pi x^{2}, então u'(x)=\pi\cdot 2x=2\pi x, porque \pi é constante.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso caso, primeiro trate o 3 como constante fora:
f(x)=3\cdot \tan\bigl(u(x)\bigr)\quad\text{com}\quad u(x)=\pi x^{2}.
Pela regra do fator constante,
f'(x)=3\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\tan(u(x))\bigr).
Agora aplicamos a regra da cadeia para \tan(u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(u(x))\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 5

Calculamos u'(x). Como u(x)=\pi x^{2} e \pi é constante,
u'(x)=2\pi x.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=3\cdot \operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot (2\pi x).

Passo 6

Fazendo a multiplicação das constantes e escrevendo u(x)=\pi x^{2}, obtemos a forma final simplificada da derivada (aqui explicito a simplificação dos fatores numéricos):
  • 3\cdot(2\pi x)=6\pi x.
    Portanto a derivada fica
f'(x)=6\pi x\; \operatorname{sec}^{2}\bigl(\pi x^{2}\bigr).
Se preferir escrever usando cosseno,
f'(x)=\dfrac{6\pi x}{\cos^{2}\bigl(\pi x^{2}\bigr)}.

Passo 7

Se a variável tiver outro nome (só renomear x por u ou t — o procedimento é idêntico). Por exemplo, para a mesma função escrita como f(u)=3\tan\bigl(\pi u^{2}\bigr) teríamos
f'(u)=6\pi u\; \operatorname{sec}^{2}\bigl(\pi u^{2}\bigr).
E se alguém definir h(t)=3\tan\bigl(\pi t^{2}\bigr) então
h'(t)=6\pi t\; \operatorname{sec}^{2}\bigl(\pi t^{2}\bigr).
Pequeno exercício extra (pra fixar): se p(x)=2\tan(3x^{2}) então p'(x)=2\cdot\operatorname{sec}^{2}(3x^{2})\cdot(6x)=12x\operatorname{sec}^{2}(3x^{2}).

Resposta

f'(x)=6\pi x\; \operatorname{sec}^{2}\bigl(\pi x^{2}\bigr)
f'(u)=6\pi u\; \operatorname{sec}^{2}\bigl(\pi u^{2}\bigr)
h'(t)=6\pi t\; \operatorname{sec}^{2}\bigl(\pi t^{2}\bigr)

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