Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - Queremos a derivada em relação à variável escrita (por exemplo
) e também equivalentes se a variável for nomeada de outra maneira (por exemplo , , etc.). - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos identificar as partes da função para poder aplicar regras de derivação passo a passo, como se fosse um sanduíche: a constante por fora, a função tangente no meio e uma função de
dentro da tangente.
- Constante multiplicativa:
. - Função externa (sem contar o
): . - Função interna (o “
” dentro da tangente): .
Definimos explicitamente a função interna para facilitar:
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra do fator constante: se
com constante, então . - Regra da cadeia: se
, então
Isto significa que derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da interna.
- Derivada da tangente: podemos obter derivando
. O resultado conhecido (e que podemos usar) é
Aqui
é
. Então, por cadeia, se temos
,
- Derivada de
: . - Derivada de uma constante multiplicada por
: se , então , porque é constante.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso caso, primeiro trate o
como constante fora:
Pela regra do fator constante,
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
Passo 5
Calculamos
. Como
e
é constante,
Substituindo em
:
Passo 6
Fazendo a multiplicação das constantes e escrevendo
, obtemos a forma final simplificada da derivada (aqui explicito a simplificação dos fatores numéricos):
-
.
Portanto a derivada fica
Se preferir escrever usando cosseno,
Passo 7
Se a variável tiver outro nome (só renomear
por
ou
— o procedimento é idêntico). Por exemplo, para a mesma função escrita como
teríamos
E se alguém definir
então
Pequeno exercício extra (pra fixar): se
então
.