1. Ache o valor da derivada parcial nos pontos dados:
f(x, y)=\sqrt{2 x^{2}+3 y^{2}} f(x, y)=3 x^{2} y^{4}-2 x^{2} y+5 x^{2} y^{2} f(x, y)=3 e^{2 x^{2} y}
Ponto: (-1,2) Ponto: (4,2) Ponto: (1,1)

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o valor da derivada parcial nos pontos dados.” Para cada função, devemos calcular as duas derivadas parciais (em relação a x e em relação a y) e avaliá‑las no ponto indicado. Dados fornecidos:
  • Função 1: f(x,y)=\sqrt{2x^{2}+3y^{2}}. Ponto: (-1,2).
  • Função 2: f(x,y)=3x^{2}y^{4}-2x^{2}y+5x^{2}y^{2}. Ponto: (4,2).
  • Função 3: f(x,y)=3e^{2x^{2}y}. Ponto: (1,1).
As perguntas são, para cada linha acima:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} no ponto dado.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} no ponto dado.

Passo 2

O que significa derivada parcial (um “mini‑aula” rápida e prática):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Formalmente,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação quando só y varia.
    Na prática de prova usamos regras de derivação (regra do poder, produto, cadeia) considerando a outra variável como constante.
Regras úteis que vamos aplicar:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}(u^{n})=n\,u^{n-1}\dfrac{du}{dx} (quando u depende de x).
  • Regra da cadeia (essencial para funções compostas): se f(x,y)=g(h(x,y)) então \dfrac{\partial f}{\partial x}=g'(h(x,y))\cdot \dfrac{\partial h}{\partial x}.
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}g'(x).

Passo 3

Começamos com a Função 1:
  • Escrever de forma conveniente:
f(x,y)=(2x^{2}+3y^{2})^{1/2}.
  • Aplicar a regra da cadeia com g(u)=u^{1/2} e u(x,y)=2x^{2}+3y^{2}. Então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(2x^{2}+3y^{2})^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}+3y^{2}).
  • Calcular \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}+3y^{2}). Como y é tratado como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x e \dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0. Logo substituindo:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(2x^{2}+3y^{2})^{-1/2}\cdot 4x.
  • Simplificando:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\frac{4x}{2\sqrt{2x^{2}+3y^{2}}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+3y^{2}}}.
  • Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}: mesma ideia, derivada interna em relação a y é \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{2}+3y^{2})=6y. Assim
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(2x^{2}+3y^{2})^{-1/2}\cdot 6y=\frac{3y}{\sqrt{2x^{2}+3y^{2}}}.
  • Avaliação no ponto (-1,2): primeiro calcule o radicando
2(-1)^{2}+3(2)^{2}=2\cdot1+3\cdot4=2+12=14,
logo \sqrt{2x^{2}+3y^{2}}=\sqrt{14}.
  • Substituindo:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=\frac{2\cdot(-1)}{\sqrt{14}}=-\frac{2}{\sqrt{14}}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=\frac{3\cdot2}{\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{14}}.

Passo 4

Agora a Função 2:
f(x,y)=3x^{2}y^{4}-2x^{2}y+5x^{2}y^{2}.
Observação prática: cada termo tem fator x^{2}, então ao derivar em relação a x use regra do poder mantendo y constante.
  • Derivada parcial em relação a x:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{4})-\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)+\dfrac{\partial}{\partial x}(5x^{2}y^{2}).
Como y é constante:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=6x y^{4}-4x y+10x y^{2}.
(Foi usado \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x multiplicado pelos coeficientes e pelos fatores em y.)
  • Avaliação em (4,2): calcule y^{4} e y^{2}:
y=2\Rightarrow y^{2}=4,\quad y^{4}=16.
Substituindo:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(4,2)=6\cdot4\cdot16-4\cdot4\cdot2+10\cdot4\cdot4.
Fazendo as contas passo a passo:
6\cdot4\cdot16=24\cdot16=384,
-4\cdot4\cdot2=-32,
10\cdot4\cdot4=160.
Somando: 384-32+160=512. Então
\dfrac{\partial f}{\partial x}(4,2)=512.
  • Derivada parcial em relação a y: aqui x é tratado como constante.
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{4})-\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{2}y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(5x^{2}y^{2}).
Aplicando a regra do poder em y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=12x^{2}y^{3}-2x^{2}+10x^{2}y.
  • Avaliação em (4,2): primeiramente x^{2}=4^{2}=16, y^{3}=8, y=2. Substituindo:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(4,2)=12\cdot16\cdot8-2\cdot16+10\cdot16\cdot2.
Calcule por partes:
12\cdot16\cdot8=12\cdot128=1536,
-2\cdot16=-32,
10\cdot16\cdot2=320.
Somando: 1536-32+320=1824. Assim
\dfrac{\partial f}{\partial y}(4,2)=1824.

Passo 5

Agora a Função 3:
f(x,y)=3e^{2x^{2}y}.
É uma composição: constante 3 vezes exponencial de g(x,y)=2x^{2}y. Use a regra da cadeia para exponencial.
  • Derivada parcial em relação a x: a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)}\cdot g_x. Assim
\dfrac{\partial f}{\partial x}=3e^{2x^{2}y}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y).
Calcule \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y). Como y é constante,
\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)=2y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2y\cdot 2x=4xy.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}=3e^{2x^{2}y}\cdot 4xy=12xy\,e^{2x^{2}y}.
Avaliação em (1,1): com x=1,y=1 o expoente fica 2\cdot1^{2}\cdot1=2, então
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=12\cdot1\cdot1\cdot e^{2}=12e^{2}.
  • Derivada parcial em relação a y: mesma ideia, agora
\dfrac{\partial f}{\partial y}=3e^{2x^{2}y}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{2}y).
E \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{2}y)=2x^{2} (pois x é constante). Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y}=3e^{2x^{2}y}\cdot 2x^{2}=6x^{2}e^{2x^{2}y}.
Avaliação em (1,1): com x=1 e expoente 2
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=6\cdot1^{2}\cdot e^{2}=6e^{2}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=-\dfrac{2}{\sqrt{14}},\quad \dfrac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=\dfrac{6}{\sqrt{14}}
\dfrac{\partial f}{\partial x}(4,2)=512,\quad \dfrac{\partial f}{\partial y}(4,2)=1824
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=12e^{2},\quad \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=6e^{2}

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