- Ache o valor da derivada parcial nos pontos dados:
Ponto:
Ponto:
Ponto:
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| Ponto:
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Ponto:
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Ponto:
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Passo 1
O enunciado pede: “Ache o valor da derivada parcial nos pontos dados.” Para cada função, devemos calcular as duas derivadas parciais (em relação a
e em relação a
) e avaliá‑las no ponto indicado. Dados fornecidos:
- Função 1:
. Ponto: . - Função 2:
. Ponto: . - Função 3:
. Ponto: .
As perguntas são, para cada linha acima:
- Calcular
no ponto dado. - Calcular
no ponto dado.
Passo 2
O que significa derivada parcial (um “mini‑aula” rápida e prática):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo. Formalmente,
- Analogamente,
é a taxa de variação quando só varia.
Na prática de prova usamos regras de derivação (regra do poder, produto, cadeia) considerando a outra variável como constante.
Regras úteis que vamos aplicar:
- Regra do poder:
(quando depende de ). - Regra da cadeia (essencial para funções compostas): se
então . - Derivada da exponencial:
.
Passo 3
Começamos com a Função 1:
- Escrever de forma conveniente:
- Aplicar a regra da cadeia com
e . Então
- Calcular
. Como é tratado como constante, e . Logo substituindo:
- Simplificando:
- Agora
: mesma ideia, derivada interna em relação a é . Assim
- Avaliação no ponto
: primeiro calcule o radicando
logo
.
- Substituindo:
Passo 4
Agora a Função 2:
Observação prática: cada termo tem fator
, então ao derivar em relação a
use regra do poder mantendo
constante.
- Derivada parcial em relação a
:
Como
é constante:
(Foi usado
multiplicado pelos coeficientes e pelos fatores em
.)
- Avaliação em
: calcule e :
Substituindo:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
. Então
- Derivada parcial em relação a
: aqui é tratado como constante.
Aplicando a regra do poder em
:
- Avaliação em
: primeiramente , , . Substituindo:
Calcule por partes:
Somando:
. Assim
Passo 5
Agora a Função 3:
É uma composição: constante
vezes exponencial de
. Use a regra da cadeia para exponencial.
- Derivada parcial em relação a
: a derivada de é . Assim
Calcule
. Como
é constante,
Portanto
Avaliação em
: com
o expoente fica
, então
- Derivada parcial em relação a
: mesma ideia, agora
E
(pois
é constante). Logo
Avaliação em
: com
e expoente
dá