Exercício 2.
(i) Enuncie o Lema Fundamental.
(ii) Considerem as seguintes funções:
Verifique:
a) As funções
e
são contínuas? São diferenciáveis em
?
b) As funções
e
são diferenciáveis em
?
(i) Enuncie o Lema Fundamental.
(ii) Considerem as seguintes funções:
a) As funções
b) As funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente enunciar o Lema Fundamental e depois analisar as funções
e
quanto à continuidade e diferenciabilidade. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade, diferenciabilidade e como aplicar o Lema Fundamental do cálculo.
Passo 2
Parte (i): Enunciar o Lema Fundamental
O Lema Fundamental geralmente se refere ao Teorema Fundamental do Cálculo, mas aqui devemos considerar o contexto de limites em funções de várias variáveis. Então, vamos enunciar o Lema Fundamental para limites:
Lema Fundamental: Se $ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L $, então para qualquer caminho que leve
a
, o limite da função ao longo desse caminho também será $ L $.
Passo 3
Parte (ii.a): Verificar se
e
são contínuas e diferenciáveis em
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
. Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando
se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 4
Analisando
em
:
A função
é definida como:
Vamos calcular o limite de
quando
. Testando alguns caminhos:
- Caminho
: - Caminho
:
Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, o limite geral não existe. Portanto,
não é contínua em
e, consequentemente, não é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Analisando
em
:
A função
é definida como:
Vamos calcular o limite de
quando
. Usamos coordenadas polares para facilitar:
Então,
Quando
,
independentemente de
. Assim, o limite é 0, que é igual ao valor da função em
. Portanto,
é contínua em
.
Agora, para ser diferenciável em
, a função deve ter derivadas parciais contínuas e o limite da diferença entre a função e a aproximação linear deve ser zero. Vamos verificar as derivadas parciais.
Passo 6
Derivadas Parciais de
em
:
Calculamos as derivadas parciais de
em
:
As derivadas parciais existem e são iguais a 0. Agora, verificamos se a aproximação linear é válida:
Esse limite depende de
, ou seja, não é único. Portanto, a função
não é diferenciável em
.
Passo 7
Parte (ii.b): Verificar se
e
são diferenciáveis em
Para pontos onde
, as funções
e
são dadas por expressões racionais que são combinações de funções polinomiais e divisões por
, que não se anulam nesses pontos.
Ambas as funções são diferenciáveis em
porque são compostas por funções diferenciáveis (polinômios e frações onde o denominador nunca é zero).
Resposta
a) A função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto. A função
não é contínua nem diferenciável em
.
b) As funções
e
são diferenciáveis em todos os pontos
.