Exercício 2.
(i) Enuncie o Lema Fundamental.
(ii) Considerem as seguintes funções:
psi(x, y)=rrr x^2-y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0) e phi(x, y)=rll x^2 yx^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
Verifique:
a) As funções phi e psi são contínuas? São diferenciáveis em (0,0) ?
b) As funções phi e psi são diferenciáveis em (x, y) neq(0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente enunciar o Lema Fundamental e depois analisar as funções phi e psi quanto à continuidade e diferenciabilidade. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade, diferenciabilidade e como aplicar o Lema Fundamental do cálculo.

Passo 2

Parte (i): Enunciar o Lema Fundamental
O Lema Fundamental geralmente se refere ao Teorema Fundamental do Cálculo, mas aqui devemos considerar o contexto de limites em funções de várias variáveis. Então, vamos enunciar o Lema Fundamental para limites:
Lema Fundamental: Se $ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L $, então para qualquer caminho que leve lim(x,y) to (a,b) f(x,y) = L a (x,y), o limite da função ao longo desse caminho também será $ L $.

Passo 3

Parte (ii.a): Verificar se phi e psi são contínuas e diferenciáveis em (0,0)
Primeiro, vamos verificar a continuidade em (0,0). Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando (x,y) se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 4

Analisando psi(x, y) em (0,0):
A função psi é definida como:
psi(x, y)= x^2-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
Vamos calcular o limite de psi(x,y) quando (x,y) to (0,0). Testando alguns caminhos:
  • Caminho y=0: psi(x,0) = x^2x^2 = 1
  • Caminho x=0: psi(0,y) = -y^2y^2 = -1
Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, o limite geral não existe. Portanto, psi não é contínua em (0,0) e, consequentemente, não é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Analisando phi(x, y) em (0,0):
A função phi é definida como:
phi(x, y)= x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
Vamos calcular o limite de phi(x,y) quando (x,y) to (0,0). Usamos coordenadas polares para facilitar:
x = r cos theta, y = r sin theta
Então,
phi(r cos theta, r sin theta) = r^2 cos^2 theta cdot r sin thetar^2 = r cos^2 theta sin theta
Quando r to 0, r cos^2 theta sin theta to 0 independentemente de theta. Assim, o limite é 0, que é igual ao valor da função em (0,0). Portanto, phi é contínua em (0,0).
Agora, para ser diferenciável em (0,0), a função deve ter derivadas parciais contínuas e o limite da diferença entre a função e a aproximação linear deve ser zero. Vamos verificar as derivadas parciais.

Passo 6

Derivadas Parciais de phi em (0,0):
Calculamos as derivadas parciais de phi em (0,0):
partial phipartial x(0,0) = limh to 0 phi(h,0) - phi(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
partial phipartial y(0,0) = limk to 0 phi(0,k) - phi(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
As derivadas parciais existem e são iguais a 0. Agora, verificamos se a aproximação linear é válida:
lim(x,y) to (0,0) |phi(x,y) - 0 - 0x - 0y|raizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) |phi(x,y)|raizx^2 + y^2 = limr to 0 r cos^2 theta sin thetar = limr to 0 cos^2 theta sin theta = cos^2 theta sin theta
Esse limite depende de theta, ou seja, não é único. Portanto, a função phi não é diferenciável em (0,0).

Passo 7

Parte (ii.b): Verificar se phi e psi são diferenciáveis em (x, y) neq (0,0)
Para pontos onde (x,y) neq (0,0), as funções phi e psi são dadas por expressões racionais que são combinações de funções polinomiais e divisões por x^2 + y^2, que não se anulam nesses pontos.
Ambas as funções são diferenciáveis em (x,y) neq (0,0) porque são compostas por funções diferenciáveis (polinômios e frações onde o denominador nunca é zero).

Resposta

a) A função phi é contínua em (0,0), mas não é diferenciável nesse ponto. A função psi não é contínua nem diferenciável em (0,0).
b) As funções phi e psi são diferenciáveis em todos os pontos (x, y) neq (0,0).

Exercícios relacionados