Ache as derivadas das funções;
f(x)=x(1-x)^2(1+x)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x(1-x)^2(1+x)^3
O conteúdo envolvido é derivação de funções dadas como quociente ou produto de potências, usando regra do produto, cadeia e, para simplificar, log-diferenciação.

Passo 2

Reescrevemos f como produto de potências para facilitar a derivação:
f(x)=x,(1-x)^-2,(1+x)^-3

Passo 3

Aplicamos log-diferenciação. Primeiro calculamos
ln f(x)=ln x-2ln(1-x)-3ln(1+x)
Derivando ambos os lados em relação a x, usando ddxln x=1x, ddxln(1-x)=-11-x e ddxln(1+x)=11+x, obtemos
f'(x)f(x) =1x-2l(-11-xr)-3l(11+xr) =1x+21-x-31+x

Passo 4

Multiplicando por f(x) e colocando tudo sobre o mesmo denominador (1-x)^3(1+x)^4, temos
f'(x) =x(1-x)^-2(1+x)^-3!l(tfrac1x+tfrac21-x-tfrac31+xr)
=(1-x)(1+x)+2x(1+x)-3x(1-x)(1-x)^3(1+x)^4 =4x^2 - x + 1(1-x)^3(1+x)^4

Resposta

f'(x)=4x^2 - x + 1(1-x)^3(1+x)^4

Exercícios relacionados