Ache as derivadas das funções;
f(x)=(2-x^2)(3-x^2)(1-x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a derivada da função
f(x)=(2 - x^2)(3 - x^2)(1 - x^2)^2
O conteúdo envolvido aqui é a Regra do Quociente, junto com a Regra do Produto pra derivar o numerador e a Regra da Cadeia pra derivar o denominador.

Passo 2

Primeiro, a gente define duas funções auxiliares:
u(x) = (2 - x^2)(3 - x^2),
v(x) = (1 - x^2)^2
Aí aplicamos a Regra do Produto em u(x):
u'(x) = (2 - x^2)',(3 - x^2) + (2 - x^2),(3 - x^2)'
(2 - x^2)' = -2x,
(3 - x^2)' = -2x
Substituindo,
u'(x) = -2x,(3 - x^2) + (2 - x^2),(-2x) = -2x(3 - x^2 + 2 - x^2) = -2x(5 - 2x^2)

Passo 3

Agora derivamos v(x)=(1 - x^2)^2 usando a Regra da Cadeia:
v'(x) = 2(1 - x^2),(1 - x^2)' = 2(1 - x^2)(-2x) = -4x(1 - x^2)

Passo 4

Com u' e v' em mãos, aplicamos a Regra do Quociente:
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo tudo:
f'(x) = [-2x(5 - 2x^2)](1 - x^2)^2 - [(2 - x^2)(3 - x^2)](-4x(1 - x^2))(1 - x^2)^4

Passo 5

Por fim, a gente simplifica passo a passo, fatorando 2x(1 - x^2) e reduzindo potências:
f'(x) = 2x(1 - x^2)(7 - 3x^2)(1 - x^2)^4 = 2x(7 - 3x^2)(1 - x^2)^3

Resposta

f'(x)=2x(7 - 3x^2)(1 - x^2)^3

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