Ache as derivadas das funções;
f(x)=(1-x)^p(1+x)^q

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=(1-x)^p(1+x)^q
e pede f'(x). O conteúdo é derivação de quociente e cadeia, mas vamos usar diferenciação logarítmica para simplificar.

Passo 2

Defina y = f(x). Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = p,ln(1-x);-;q,ln(1+x)

Passo 3

Derivando implicitamente em x e aplicando regra da cadeia, obtemos
y'y = pcdotddxln(1-x);-;qcdotddxln(1+x) = pcdotl(-11-xr);-;qcdot11+x = -p1-x-q1+x

Passo 4

Multiplicando por y e substituindo y=f(x), temos
y' = yl(-tfracp1-x-tfracq1+xr) Longrightarrow f'(x) = (1-x)^p(1+x)^q l(-p1-x-q1+xr)

Passo 5

Para simplificar o parêntese, usamos fração sobre o mesmo denominador:
-p1-x-q1+x =-p(1+x)-q(1-x)1-x^2 =(q-p),x-(p+q)1-x^2
Assim, uma forma final é
f'(x) =(1-x)^p(1+x)^q, (q-p),x-(p+q)1-x^2

Resposta

boxedf'(x) =(1-x)^p(1+x)^q l(-p1-x-q1+xr) =(1-x)^p(1+x)^q (q-p),x-(p+q)1-x^2

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