Ache as derivadas das funções;
f(x)=(1+x) raiz2+x^2 raiz[3]3+x^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (1 + x),raiz2 + x^2,raiz[3]3 + x^3
Para isso, vamos usar a regra do produto para três fatores e, em cada fator que é potência composta, aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Denotemos
a(x) = 1 + x, b(x) = (2 + x^2)^tfrac12, c(x) = (3 + x^3)^tfrac13
Então f(x)=a(x),b(x),c(x) e precisamos de a'(x), b'(x) e c'(x):
Para a(x):
a'(x) = 1
Para b(x), use a cadeia com u(x)=2+x^2:
b'(x) = tfrac12,u(x)^-tfrac12,u'(x) = tfrac12,(2 + x^2)^-tfrac12cdot 2x = x,(2 + x^2)^-tfrac12
Para c(x), use a cadeia com v(x)=3+x^3:
c'(x) = tfrac13,v(x)^-tfrac23,v'(x) = tfrac13,(3 + x^3)^-tfrac23cdot 3x^2 = x^2,(3 + x^3)^-tfrac23

Passo 3

Agora, aplicando a regra do produto para três fatores,
f'(x) = a'(x),b(x),c(x) + a(x),b'(x),c(x) + a(x),b(x),c'(x)
Substituindo cada termo:
f'(x) = (2 + x^2)^tfrac12(3 + x^3)^tfrac13 + (1 + x),x,(2 + x^2)^-tfrac12(3 + x^3)^tfrac13 + (1 + x),(2 + x^2)^tfrac12,x^2,(3 + x^3)^-tfrac23

Resposta

f'(x) = (2 + x^2)^tfrac12(3 + x^3)^tfrac13 + (1 + x),x,(2 + x^2)^-tfrac12(3 + x^3)^tfrac13 + (1 + x),(2 + x^2)^tfrac12,x^2,(3 + x^3)^-tfrac23

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