Exercício 3. Verifique que a função
, com
e
uma constante não nula, satisfaz a equação de transmissão de calor
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função
, onde
e
é uma constante não nula, satisfaz a equação de transmissão de calor:
Aqui, estamos trabalhando com a equação de calor, um conceito fundamental em física e matemática que descreve como o calor se propaga em um meio ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então substituir na equação para verificar se a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. A função
é dada por:
Para derivar em relação a
, vamos usar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 3
Calculando
:
Temos:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
E:
Portanto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, representada por
.
Primeiro, calculamos a primeira derivada
:
Agora, derivando novamente em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação de transmissão de calor:
Distribuindo o
:
Notamos que os termos se cancelam:
Resposta
Concluímos que a função
satisfaz a equação de transmissão de calor
.