Exercício 3. Verifique que a função u(x, t)=1raizt exp (-x^24 k t), com t>0 e k uma constante não nula, satisfaz a equação de transmissão de calor
ut-k ux x=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função u(x, t) = 1raizt exp(-x^24kt) , onde t > 0 e k é uma constante não nula, satisfaz a equação de transmissão de calor:
ut - k uxx = 0
Aqui, estamos trabalhando com a equação de calor, um conceito fundamental em física e matemática que descreve como o calor se propaga em um meio ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a t e x , e então substituir na equação para verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de u em relação a t , representada por ut . A função u(x, t) é dada por:
u(x, t) = 1raizt exp(-x^24kt)
Para derivar em relação a t , vamos usar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 3

Calculando ut :
Temos:
u(x, t) = t^-1/2 exp(-x^24kt)
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
ut = ddt(t^-1/2) cdot exp(-x^24kt) + t^-1/2 cdot ddt(exp(-x^24kt))
Calculando cada parte:
ddt(t^-1/2) = -12 t^-3/2
E:
ddt(-x^24kt) = x^24kt^2
Portanto:
ut = -12 t^-3/2 exp(-x^24kt) + t^-1/2 cdot (x^24kt^2) exp(-x^24kt)
Simplificando:
ut = (-12t + x^24kt^2) 1raizt exp(-x^24kt)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de u em relação a x , representada por uxx .
Primeiro, calculamos a primeira derivada ux :
ux = ddx(1raizt exp(-x^24kt)) = 1raizt cdot (-2x4kt) exp(-x^24kt) = -x2ktraizt exp(-x^24kt)
Agora, derivando novamente em relação a x :
uxx = ddx(-x2ktraizt exp(-x^24kt))
Aplicando a regra do produto:
uxx = -12ktraizt exp(-x^24kt) + x^24k^2t^2raizt exp(-x^24kt)
Simplificando:
uxx = (-12kt + x^24k^2t^2) 1raizt exp(-x^24kt)

Passo 5

Agora, substituímos ut e uxx na equação de transmissão de calor:
ut - k uxx = (-12t + x^24kt^2) 1raizt exp(-x^24kt) - k (-12kt + x^24k^2t^2) 1raizt exp(-x^24kt)
Distribuindo o k :
ut - k uxx = (-12t + x^24kt^2 + 12t - x^24kt^2) 1raizt exp(-x^24kt)
Notamos que os termos se cancelam:
ut - k uxx = 0

Resposta

Concluímos que a função u(x, t) = 1raizt exp(-x^24kt) satisfaz a equação de transmissão de calor ut - k uxx = 0 .

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