Ache as derivadas das funções;
f(x)=raiz[m+n](1-x)^m(1+x)^n

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=raiz[m+n](1-x)^m(1+x)^n. Vamos usar a derivação via logaritmo porque ela simplifica o produto e a raiz.

Passo 2

Definimos h(x)=ln f(x). Então
h(x)=ln f(x)=1m+nl(mln(1-x)+nln(1+x)r)

Passo 3

Derivamos h(x):
h'(x)=1m+nl(mcdot-11-x+ncdot11+xr)=n(1-x)-m(1+x)(m+n)(1-x^2)=(n-m)-x(m+n)(m+n)(1-x^2)

Passo 4

Como f'(x)=f(x),h'(x), substituímos f(x) e h'(x):
f'(x)=raiz[m+n](1-x)^m(1+x)^n;(n-m)-x(m+n)(m+n)(1-x^2)

Resposta

f'(x)=raiz[m+n](1-x)^m(1+x)^n;(n-m)-x(m+n)(m+n)(1-x^2).

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