Exercício 4. Consideremos a função f(x, y, z)=x^2+x y z+y z^2. Determinar f^prime(P), onde P=(1,0,1). Além disso, escrever f^prime(P) em notação matricial.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o diferencial de uma função de três variáveis no ponto P e, depois, escrever esse diferencial em notação matricial. A função é f(x,y,z)=x²+xyz+yz², o ponto é P=(1,0,1) e vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Para obter o diferencial, calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y,z)=2x+yz
f_y(x,y,z)=xz+z²
f_z(x,y,z)=xy+2yz

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(1,0,1):
f_x(1,0,1)=2·1+0·1=2
f_y(1,0,1)=1·1+1²=2
f_z(1,0,1)=1·0+2·0·1=0

Passo 4

O diferencial f’§ é a aplicação linear que, dado um incremento (h,k,l), retorna
f’§(h,k,l)=f_x(1,0,1)·h+f_y(1,0,1)·k+f_z(1,0,1)·l=2h+2k+0·l

Passo 5

Em notação matricial, representamos f’§ como um vetor linha multiplicando o vetor de incrementos. Assim:
f'(P)(h,k,l)=2 & 2 & 0hkl

Resposta

O diferencial em P é a aplicação linear f’§(h,k,l)=2h+2k, e em notação matricial f'(P)(h,k,l)=2 & 2 & 0hkl

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