Ache as derivadas das funções;
f(x)=xraiza^2-x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = xraiza^2-x^2
Esse é um caso de derivação de quociente ou, de forma mais prática, podemos reescrever como produto e usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como
f(x) = x,(a^2-x^2)^-tfrac12
Aqui identificamos duas funções a multiplicar: u(x)=x e v(x)=(a^2-x^2)^-tfrac12.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Temos
u'(x) = 1, v'(x) = -tfrac12,(a^2-x^2)^-tfrac32cdot(-2x) = x,(a^2-x^2)^-tfrac32
Logo
f'(x) = 1cdot (a^2-x^2)^-tfrac12 + xcdot l[x,(a^2-x^2)^-tfrac32r]

Passo 4

Agora simplificamos somando termos semelhantes:
f'(x) = (a^2-x^2)^-tfrac12 + x^2,(a^2-x^2)^-tfrac32 = a^2-x^2(a^2-x^2)^tfrac32 + x^2(a^2-x^2)^tfrac32 = a^2(a^2-x^2)^tfrac32

Resposta

f'(x) = a^2(a^2-x^2)^tfrac32

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