Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
(a y x^2+b y) y^prime-x=0
a, b in R, a neq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação
l(a,y,x^2+b,yr),y' - x = 0,
com a,binR e aneq0.
O conteúdo é equação diferencial ordinária de primeira ordem, e vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma y'=dots. Reorganizando:
(a,x^2 + b),y,y' = x Longrightarrow y' = xy,(a,x^2 + b)

Passo 3

Agora separamos variáveis, isto é, colocamos todos os y com dy e todos os x com dx:
y,dydx = xa,x^2 + b Longrightarrow y,dy = xa,x^2 + b,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral xa,x^2 + b,dx
Na esquerda vem
integral y,dy = y^22
Na direita, fazemos a substituição u = a,x^2 + b, du = 2a,x,dx, logo
integral xa,x^2 + b,dx = integral 12a,duu = 12a,lnl|ur| = 12a,lnl|a,x^2 + br|

Passo 5

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
y^22 = 12a,lnl|a,x^2 + br| + C
Multiplicando tudo por 2 e renomeando a constante ( C1 = 2C), obtemos a forma final
y^2 = 1a,lnl|a,x^2 + br| + C1

Resposta

Tipo: equação de variáveis separáveis.
Solução geral:
y^2 = 1a,lnl|a,x^2 + br| + C

Exercícios relacionados