Exercício 5. Consideremos a função
.
(a) Defina derivada direcional.
(b) Calcule
.
(c) Determinar a derivada direcional de
no ponto
, na direção do vetor
.
Dica para (c). Veja inicialmente que
é diferenciável. Em seguida use que:
1
(a) Defina derivada direcional.
(b) Calcule
(c) Determinar a derivada direcional de
Dica para (c). Veja inicialmente que
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
(a) dar a definição de derivada direcional;
(b) calcular o gradiente ;
(c) usar a fórmula para achar a derivada direcional em
na direção
.
(b) calcular o gradiente
(c) usar a fórmula
Passo 2
Definição de derivada direcional em
na direção de um vetor unitário
:
Se
é diferenciável em
, então vale
Passo 3
Para
aplicamos a regra do quociente com
e
. Obtemos
Passo 4
Para
fazemos o mesmo cálculo de regra do quociente e achamos
Passo 5
Em
temos
e
. Então
-
, logo . -
, logo .
Portanto
Passo 6
A derivada direcional em
na direção
é
Resposta
(a)
, e se
é diferenciável então
.
(b)
(c)