Exercício 5. Consideremos a função f(x, y)=x y^2x^2+y^2+1.
(a) Defina derivada direcional.
(b) Calcule nabla f(x, y).
(c) Determinar a derivada direcional de f no ponto P=(1,2), na direção do vetor u=(1raiz2, 1raiz2).
Dica para (c). Veja inicialmente que f é diferenciável. Em seguida use que:
partial fpartial u(P)=nabla f(P) cdot u
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Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função
f(x,y)=x,y^2x^2+y^2+1,:
(a) dar a definição de derivada direcional;
(b) calcular o gradiente nabla f(x,y);
(c) usar a fórmula partialvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u para achar a derivada direcional em P=(1,2) na direção vec u=(1/raiz2,1/raiz2).

Passo 2

Definição de derivada direcional em P na direção de um vetor unitário vec u:
partial fpartial vec u(P) =limhto0fl(P+h,vec ur)-f(P)h
Se f é diferenciável em P, então vale
partial fpartial vec u(P) =nabla f(P)cdotvec u

Passo 3

Para partial fpartial x aplicamos a regra do quociente com N=x,y^2 e D=x^2+y^2+1. Obtemos
partial fpartial x =y^2(y^2 - x^2 +1)(x^2+y^2+1)^2

Passo 4

Para partial fpartial y fazemos o mesmo cálculo de regra do quociente e achamos
partial fpartial y =2,x,y,(x^2+1)(x^2+y^2+1)^2

Passo 5

Em P=(1,2) temos x^2+y^2+1=6 e (x^2+y^2+1)^2=36. Então
  • y^2(y^2-x^2+1)=4,(4-1+1)=16, logo partial f/partial x(1,2)=16/36=4/9.
  • 2,x,y,(x^2+1)=2cdot1cdot2cdot2=8, logo partial f/partial y(1,2)=8/36=2/9.
    Portanto
nabla f(1,2)=l(tfrac49,,tfrac29r)

Passo 6

A derivada direcional em P na direção vec u=(1/raiz2,1/raiz2) é
partial fpartial vec u(1,2) =nabla f(1,2)cdotvec u =49,1raiz2+29,1raiz2 =69raiz2 =23raiz2 =raiz23

Resposta

(a)
partial fpartial vec u(P) =limhto0f(P+hvec u)-f(P)h, e se f é diferenciável então partialvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u.
(b)
nabla f(x,y) =gl(y^2(y^2 - x^2 +1)(x^2+y^2+1)^2,, 2,x,y,(x^2+1)(x^2+y^2+1)^2gr)
(c)
partial fpartial vec u(1,2) =raiz23

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