Ache as derivadas das funções:
f(x)=sin (cos ^2 x) cos (sin ^2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sinl(cos^2 xr),cosl(sin^2 xr)
O conteúdo que vamos usar inclui a regra do produto e a regra da cadeia para composições de funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x),v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui u(x)=sin(cos^2 x) e v(x)=cos(sin^2 x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia:
u'(x)=cosl(cos^2 xr)cdotddxl(cos^2 xr)
Como ddx(cos^2 x)=2cos xcdot(-sin x)=-2sin xcos x, obtemos
u'(x)=-2sin xcos x;cosl(cos^2 xr)

Passo 4

Agora v'(x) também pela cadeia:
v'(x)=-sinl(sin^2 xr)cdotddxl(sin^2 xr)
E ddx(sin^2 x)=2sin xcos x, logo
v'(x)=-2sin xcos x;sinl(sin^2 xr)

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), vem
f'(x)=-2sin xcos xcosl(cos^2 xr)cosl(sin^2 xr) -2sin xcos xsinl(cos^2 xr)sinl(sin^2 xr)

Passo 6

Fatorando -2sin xcos x e usando
cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B) e cos^2 x-sin^2 x=cos2x,
che resulta em
f'(x)=-2sin xcos x;cosl(cos^2 x-sin^2 xr) =-sin(2x),cosl(cos2xr)

Resposta

f'(x)=-sin(2x),cosl(cos2xr)

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