Ache as derivadas das funções:
f(x)=sin ^n sin n x

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=sin^,n!l(sin(n x)r),
que é uma composição de três funções:
  1. umapstosin(u),
  2. vmapstosin(v),
  3. wmapsto w^n.
    O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (chain rule) associada à regra do poder (power rule).

Passo 2

Definimos
u(x)=sin(n x),
v(x)=sinl(u(x)r),
f(x)=l(v(x)r)^n
Pela regra da cadeia e do poder,
f'(x)=nl(v(x)r)^,n-1,v'(x)

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Como v(x)=sinl(u(x)r), aplica-se novamente a regra da cadeia:
v'(x)=cosl(u(x)r),u'(x)

Passo 4

Falta u'(x). Temos u(x)=sin(n x), cuja derivada é
u'(x)=cos(n x),ddx(n x)=ncos(n x)

Passo 5

Substituindo u'(x) em v'(x) e este em f'(x), obtemos
v'(x)=cosl(u(x)r),l(ncos(n x)r) =ncosl(sin(n x)r)cos(n x),
f'(x) =nl(sin(sin(n x))r)^,n-1 cdotl[ncos(sin(n x))cos(n x)r]
Agrupando fatores iguais:

Resposta

f'(x) = n^2,l[sinl(sin(n x)r)r]^,n-1 cosl(sin(n x)r),cos(n x)

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