Exercício 9. Supondo que cada função abaixo tenha expansão em série de potências. encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a.
f(x)=1 / x a=-3

Passo 1

Na questão, queremos encontrar a expansão em série de Taylor de f(x)=1/x centrada em a=-3; vamos usar o conceito de séries de potências e, em particular, transformar f em uma série geométrica.

Passo 2

Definimos h = x - a = x + 3 de modo que x = -3 + h. Assim
f(x)=1x=1-3+h
Fatorando -3 temos
f(x)=1-311- h3=-1311- h3

Passo 3

Sabemos que a série geométrica é
11-u=sumn=0^infty u^n,
válida para |u|<1. Aqui escolhemos u=\frac h3=\frac{x+3}3.

Passo 4

Substituindo u e multiplicando por -1/3, obtemos
f(x)=-13sumn=0^inftyl(x+33r)^n=sumn=0^inftyl(-(x+3)^n3^n+1r)

Passo 5

Logo, a série de Taylor de f(x) centrada em a=-3 é
1x=-sumn=0^infty(x+3)^n3^n+1,
com raio de convergência dado por
l|x+33r|<1Long<=ftrightarrow|x+3|<3

Resposta

1x=-sumn=0^infty(x+3)^n3^n+1,|x+3|<3

Exercícios relacionados