Exercício 9. Supondo que cada função abaixo tenha expansão em série de potências. encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
.
Passo 1
Na questão, queremos encontrar a expansão em série de Taylor de f(x)=1/x centrada em a=-3; vamos usar o conceito de séries de potências e, em particular, transformar f em uma série geométrica.
Passo 2
Definimos h = x - a = x + 3 de modo que x = -3 + h. Assim
Fatorando -3 temos
Passo 3
Sabemos que a série geométrica é
válida para |u|<1. Aqui escolhemos u=\frac h3=\frac{x+3}3.
Passo 4
Substituindo u e multiplicando por -1/3, obtemos
Passo 5
Logo, a série de Taylor de f(x) centrada em a=-3 é
com raio de convergência dado por