Ache as derivadas das funções:
f(x)=cos x2 sin ^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos x2sin^2 x
O conteúdo aqui é diferencial de quociente, então vamos usar a regra do quociente: se f(x)=g(x)h(x), então
f'(x)=g'(x),h(x)-g(x),h'(x)l(h(x)r)^2

Passo 2

Identificamos
g(x)=cos x, h(x)=2sin^2 x

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e de h:
g'(x)=-sin x, h'(x)=2cdotddxl(sin^2 xr) =2cdot2sin xcos x =4sin xcos x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)l(h(x)r)^2 =(-sin x),(2sin^2 x)-(cos x),(4sin xcos x)l(2sin^2 xr)^2

Passo 5

No numerador temos
-sin xcdot2sin^2 x-cos xcdot4sin xcos x =-2sin^3 x-4sin xcos^2 x =-2sin xl(sin^2 x+2cos^2 xr),
e o denominador é
l(2sin^2 xr)^2=4sin^4 x
Logo
f'(x) =-2sin xl(sin^2 x+2cos^2 xr)4sin^4 x =-sin^2 x+2cos^2 x2sin^3 x

Passo 6

Para simplificar ainda mais, use cos^2 x=1-sin^2 x:
sin^2 x+2cos^2 x =sin^2 x+2(1-sin^2 x) =2-sin^2 x
Assim
f'(x) =-2-sin^2 x2sin^3 x =sin^2 x-22sin^3 x

Resposta

f'(x)=sin^2 x-22sin^3 x

Exercícios relacionados