Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
d yd x=3 y+x3 x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=3y+x3x+y
Este tipo é uma EDO homogênea (numerador e denominador de mesmo grau em x,y). Para resolver, vamos usar a substituição
y = v,x,
onde v=v(x).

Passo 2

Como y=vx, temos
dydx=v + xdvdx
Substituindo na EDO:
v + xdvdx =3(vx)+x3x+(vx) =3v+1v+3

Passo 3

Isolando dv/dx:
xdvdx =3v+1v+3-v =3v+1 - v(v+3)v+3 =1-v^2v+3
Logo podemos separar variáveis:
v+31-v^2,dv=dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado de v:
integralv+31-v^2,dv =integrall(21-v+11+vr)dv =-2ln|1-v|+ln|1+v|+C1 =ln!l|1+v(1-v)^2r|+C1
No lado de x:
integraldxx=ln|x|+C2
Igualando e definindo C=C2-C1:
ln!l|1+v(1-v)^2r|=ln|x|+C

Passo 5

Exponenciando e revertendo v=y/x:
1+yxl(1-yxr)^2=C,x Longrightarrow x+y(x-y)^2=K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

x+y(x-y)^2=K,
que é a solução geral da equação diferencial.

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