Ache as derivadas das funções:
f(x)=sin x-x cos xcos x+x sin x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=sin x - xcos xcos x + xsin x
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, além das derivadas de sin x, cos x e da aplicação da regra do produto.

Passo 2

Definimos
u(x)=sin x - xcos x, v(x)=cos x + xsin x,
de modo que
f(x)=u(x)v(x)
Pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=sin x - xcos x, temos
pela soma e pela regra do produto:
u'(x)=ddx(sin x)-ddxl(xcos xr) =cos x-l(1cdotcos x + xcdot(-sin x)r) =cos x-cos x + xsin x = xsin x

Passo 4

Agora v'(x). Como v(x)=cos x + xsin x, de novo soma e produto:
v'(x)=ddx(cos x)+ddxl(xsin xr) =-sin x +l(1cdotsin x + xcdotcos xr) =-sin x+sin x + xcos x = xcos x

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
u'(x),v(x) =(xsin x)(cos x + xsin x) = xsin xcos x + x^2sin^2 x,
u(x),v'(x) =(sin x - xcos x)(xcos x) = xsin xcos x - x^2cos^2 x
Logo o numerador fica
u'v - uv' =l(xsin xcos x + x^2sin^2 xr) -l(xsin xcos x - x^2cos^2 xr) = x^2(sin^2 x+cos^2 x) = x^2

Passo 6

Portanto
f'(x) =x^2l(cos x + xsin xr)^2

Resposta

f'(x)=x^2(cos x + xsin x)^2

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