Ache as derivadas das funções:
f(x)=[1-x^22 sin x-(1+x)^22 cos x] e^-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=l[tfrac1-x^22sin x-tfrac(1+x)^22cos xr]e^-x
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e as derivadas de sin x e cos x.

Passo 2

Definimos
g(x)=tfrac1-x^22sin x-tfrac(1+x)^22cos x,
de modo que f(x)=g(x)e^-x. Pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)e^-x+g(x)l(e^-xr)'=g'(x)e^-x-g(x)e^-x=(g'(x)-g(x)),e^-x

Passo 3

Vamos calcular g'(x). Como há fator tfrac12 em cada termo, obtemos
g'(x)=tfrac12l[(1-x^2)'sin x+(1-x^2)cos xr];-;tfrac12l[l((1+x)^2cos xr)'r]
Aqui (1-x^2)'=-2x e
l((1+x)^2cos xr)'=2(1+x)cos x-(1+x)^2sin x
Substituindo,
g'(x)=tfrac12l[-2xsin x+(1-x^2)cos x-2(1+x)cos x+(1+x)^2sin xr]

Passo 4

Agrupando os termos em sin x e em cos x:
g'(x)=tfrac12l[(1+x^2)sin x-(1+x)^2cos xr]

Passo 5

Calculamos então
g'(x)-g(x) =tfrac12l[(1+x^2)sin x-(1+x)^2cos x-(1-x^2)sin x+(1+x)^2cos xr] =tfrac12l[2x^2sin xr] =x^2sin x
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f'(x)=(g'(x)-g(x))e^-x=x^2sin x,e^-x

Resposta

f'(x)=x^2sin x,e^-x

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