Ache as derivadas das funções:
f(x)=4 raiz[3]cot ^2 x+raizcot ^3 x

Passo 1

Estamos lidando com derivadas de funções que envolvem potências e funções trigonométricas compostas, mais especificamente a função cotangente. Nosso objetivo é encontrar f '(x) para f(x)=4√[3]{cot²x}+√{cot³x}. Vamos usar as regras de derivação de potências e a derivada de cot x, que é −csc²x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) em termos de potências fracionárias para facilitar:
f(x)=4,l(cot^2xr)^1/3+l(cot^3xr)^1/2
Aplicamos as propriedades de expoentes:
f(x)=4,cot^2/3x+cot^3/2x

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Para g(x)=\cot^a x vale g ‘(x)=a\cot^{a-1}x·(\cot x)’ e sabemos que (\cot x)’=−\csc^2x.

Passo 4

Derivando o primeiro termo 4\cot^{2/3}x: fatoramos a constante e usamos a regra da potência com a=2/3:
ddxl(4cot^2/3xr)=4cdot23cot^2/3-1xcdot(-csc^2x)= -83cot^-1/3x,csc^2x

Passo 5

Derivando o segundo termo \cot^{3/2}x com a=3/2:
ddxl(cot^3/2xr)=32cot^3/2-1xcdot(-csc^2x)= -32cot^1/2x,csc^2x

Passo 6

Por fim, somamos as derivadas dos termos e, se quisermos, podemos fatorar \csc^2x em evidência:
f'(x)= -83cot^-1/3x,csc^2x - 32cot^1/2x,csc^2x
Essa é a forma simplificada de f '(x).

Resposta

f'(x)= -83,csc^2xcot^1/3x;- frac32,cot^1/2x,csc^2x

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