Ache as derivadas das funções:
f(x)=(ab)(bx)^a(xa)^b

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ab,l(bxr)^a,l(xar)^b
onde a e b são constantes e x é a variável.
O conteúdo principal aqui é a derivação de uma função do tipo produto e potência com expoentes constantes, e uma boa estratégia é usar diferenciação logarítmica para simplificar o cálculo.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de f(x) para simplificar o produto e as potências:
ln f(x) = lnab ;+; a,lnbx ;+; b,lnxa
Agora expandimos cada termo de logaritmo de quociente:
ln f(x) = lnab + al(ln b - ln xr) + bl(ln x - ln ar)
Agrupando termos, observamos que todos os termos constantes desaparecem ao derivar:
ln f(x) = underbracelnab + aln b - bln aconstante ;+;(b - a),ln x

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. Como a parte constante some, temos:
f'(x)f(x) = ddxl[(b-a),ln xr] = b-ax
Portanto,
f'(x) = f(x),b-ax

Passo 4

Substituindo a expressão original de f(x) na fórmula acima, obtemos:
f'(x) = b-ax;ab,l(bxr)^a,l(xar)^b
Alternativamente, podemos simplificar o fator constante:
ab,b^aa^b = b^a-1a^,b-1,
ficando
f'(x) = b^,a-1a^,b-1,(b-a),x^,b-a-1

Resposta

f'(x) = b-ax,ab,l(bxr)^a,l(xar)^b ou f'(x) = b^,a-1a^,b-1,(b-a),x^,b-a-1

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