Ache as derivadas das funções;
f(x)=x raiz1+x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada de f(x)=x√(1+x). O conteúdo envolve derivada de produto e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Reescrevemos a função como produto de duas funções mais fáceis de manipular: g(x)=x e h(x)=(1+x)^{1/2}. Dessa forma, f(x)=g(x)·h(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais. Para g(x)=x, temos g’(x)=1. Para h(x)=(1+x)^{1/2}, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de u^{1/2} é (1/2)u^{-1/2} e u=1+x tem derivada 1. Logo,
h'(x)=tfrac12,(1+x)^-1/2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: f’(x)=g’(x)·h(x)+g(x)·h’(x). Substituindo as expressões obtidas,
f'(x)=1cdot(1+x)^1/2+xcdottfrac12,(1+x)^-1/2

Passo 5

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (1+x)^{1/2}:
f'(x)=2(1+x)+x2,(1+x)^1/2

Resposta

f’(x) = 2+3x2raiz1+x

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