Ache as derivadas das funções;
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada de f(x)=x√(1+x). O conteúdo envolve derivada de produto e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Reescrevemos a função como produto de duas funções mais fáceis de manipular: g(x)=x e h(x)=(1+x)^{1/2}. Dessa forma, f(x)=g(x)·h(x).
Passo 3
Calculamos as derivadas individuais. Para g(x)=x, temos g’(x)=1. Para h(x)=(1+x)^{1/2}, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de u^{1/2} é (1/2)u^{-1/2} e u=1+x tem derivada 1. Logo,
Passo 4
Aplicamos a regra do produto: f’(x)=g’(x)·h(x)+g(x)·h’(x). Substituindo as expressões obtidas,
Passo 5
Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (1+x)^{1/2}:
Resposta
f’(x) =