Questão 02
Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃO POR PARTES:
integral x cdot e^x cdot d x
Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solucão.
A x+e^x+x e^x+C
B x^2 cdot e^x+x cdot e^x-e^x+C
C e^x+x+C
D x cdot e^x-e^x+C
E x^2 / 2+x e^x+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular integral x cdot e^x , dx usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa técnica, que basicamente nos ajuda a integrar produtos de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv. No método de integração por partes, escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivarmos e dv como o restante que vamos integrar.
Aqui, vamos deixar:
  • u = x (porque a derivada de x é mais simples)
  • dv = e^x , dx

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
  • Derivada de u: du = dx
  • Integral de dv: v = integral e^x , dx = e^x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - integral e^x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^x , dx = e^x + C
Então substituindo de volta:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - e^x + C

Resposta

A alternativa correta é a D:
x cdot e^x - e^x + C

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