Ache as derivadas parciais de primeira ordem de:
f(x, y)=xraizx^2+y^2 (x, y) neq 0.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=xraizx^2+y^2, (x,y)neq(0,0)
O conteúdo envolve regras de derivação para funções de várias variáveis, em especial a regra do produto e a regra da cadeia. Para facilitar, vamos reescrever
f(x,y)=x,(x^2+y^2)^-tfrac12

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, note que f(x,y)=u(x,y),v(x,y) com
u(x,y)=x, v(x,y)=(x^2+y^2)^-tfrac12
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
partial upartial x=1, partial vpartial x=-tfrac12,(x^2+y^2)^-tfrac32cdot2x=-,x,(x^2+y^2)^-tfrac32
Logo,
partial fpartial x =1cdot(x^2+y^2)^-tfrac12 + xcdotl[-,x,(x^2+y^2)^-tfrac32r] =(x^2+y^2)^-tfrac12-x^2(x^2+y^2)^-tfrac32
Fatorando (x^2+y^2)^-tfrac32:
partial fpartial x =l[(x^2+y^2)-x^2r],(x^2+y^2)^-tfrac32 =;y^2,(x^2+y^2)^-tfrac32

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos
f(x,y)=x,(x^2+y^2)^-tfrac12
em relação a y. A única parte que depende de y é v(x,y), cuja derivada é
partial vpartial y =-tfrac12,(x^2+y^2)^-tfrac32cdot2y =-,y,(x^2+y^2)^-tfrac32
Portanto,
partial fpartial y =xcdotl[-,y,(x^2+y^2)^-tfrac32r] =-,x,y,(x^2+y^2)^-tfrac32

Resposta

partial fpartial x =y^2(x^2+y^2)^tfrac32, partial fpartial y =-,x,y(x^2+y^2)^tfrac32

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