Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
x y^prime+y-x sen(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
x,y' + y - xsen(x) = 0
Trata-se de uma equação linear na forma x,y' + y = xsen(x). Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão y' + P(x),y = Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x (supondo xneq0), obtemos
y' + 1x,y = sen(x)
Aqui P(x)=tfrac1x e Q(x)=sen(x).

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral tfrac1x,dxr) = e^ln|x|=|x|
Escolhemos mu(x)=x para x>0 (o mesmo procedimento vale para x<0, trocando o sinal geral).

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x, a equação vira
x,y' + y = x,sen(x)
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto x,y, pois
ddxl(x,yr)=x,y' + y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
integral ddx(x,y),dx = integral x,sen(x),dx Longrightarrow x,y = integral x,sen(x),dx
Para calcular integral xsen(x),dx, usamos integração por partes com u=x, dv=sen(x),dx:
integral xsen(x),dx = -xcos(x) + integral cos(x),dx = -xcos(x) + sen(x) + C

Passo 6

Logo
x,y = -xcos(x) + sen(x) + C Longrightarrow y(x) = -cos(x) + sen(x)x + Cx

Resposta

boxedy(x) = -cos(x) + sen(x)x + Cx,
onde C é a constante de integração.

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