Verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y para:
f(x, y)=ln (x^2+y^2), (x, y) neq(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r),(x,y)neq(0,0),
valem
partial^2 fpartial ypartial x = partial^2 fpartial xpartial y
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e a igualdade das derivadas mistas (Teorema de Clairaut), mas vamos fazer direto pelo cálculo.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x:
fx = partialpartial xln(x^2+y^2) = 1x^2+y^2,partialpartial x(x^2+y^2) = 2xx^2+y^2

Passo 3

Derivar fx em relação a y para obter fxy:
fxy = partialpartial y!l(2xx^2+y^2r) = 2xcdotpartialpartial y(x^2+y^2)^-1 = 2xcdot(-1)(x^2+y^2)^-2cdot2y = -4xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y:
fy = partialpartial yln(x^2+y^2) = 1x^2+y^2,partialpartial y(x^2+y^2) = 2yx^2+y^2

Passo 5

Derivar fy em relação a x para obter fyx:
fyx = partialpartial x!l(2yx^2+y^2r) = 2ycdot(-1)(x^2+y^2)^-2cdot2x = -4xy(x^2+y^2)^2

Passo 6

Comparando,
fxy=-4xy(x^2+y^2)^2 e fyx=-4xy(x^2+y^2)^2,
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partial^2 fpartial ypartial x = partial^2 fpartial xpartial y
em todo (x,y)neq(0,0).

Resposta

Verificado:
partial^2 fpartial ypartial x = partial^2 fpartial xpartial y = -4xy(x^2+y^2)^2

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