Em cada item abaixo, determine as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) ( x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
f(x)=raizx e x0=9

Passo 1

O enunciado nos dá f(x)=raizx e x0=9, e pede as equações das retas tangente e normal ao gráfico no ponto (x0,f(x0)). Vamos usar derivada para achar a inclinação da tangente e, em seguida, da normal.

Passo 2

Primeiro calculamos f(9)=raiz9=3. Em seguida, lembrando que
ddxraizx=12raizx,
temos
f'(9)=12raiz9=16

Passo 3

A reta tangente em (9,3) tem coeficiente angular mtang=tfrac16 e satisfaz
y-3=16(x-9)
Simplificando:
y=16x+32

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é
mnorm=-1mtang=-6
Assim,
y-3=-6(x-9)
e, ao simplificar,
y=-6x+57

Passo 5

Para esboçar, desenhe no mesmo plano a curva y=raizx, que cresce suavemente a partir de (0,0), e a reta tangente quase horizontal com leve inclinação tfrac16 passando por (9,3). A normal cruza o ponto (9,3) com inclinação negativa pronunciada.

Resposta

Reta tangente: y=tfrac16x+tfrac32
Reta normal: y=-6x+57

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