Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(r, s)=\sqrt{r^{2}+s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(r,s)=\sqrt{r^{2}+s^{2}}
Isso envolve conteúdo de derivação parcial e a regra da cadeia, pois f é composição de u(r,s)=r^{2}+s^{2} com a função g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.

Passo 2

Para achar \frac{\partial f}{\partial r}, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos g(u)=u^{1/2} em relação a u, obtendo
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2},
depois multiplicamos pela derivada de u=r^{2}+s^{2} em relação a r, que é \frac{\partial u}{\partial r}=2r. Assim,
\frac{\partial f}{\partial r} = g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{2}(r^{2}+s^{2})^{-1/2}\cdot 2r = \frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.

Passo 3

De modo análogo, para \frac{\partial f}{\partial s} usamos a mesma regra da cadeia. A derivada de u=r^{2}+s^{2} em relação a s é \frac{\partial u}{\partial s}=2s. Logo,
\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{1}{2}(r^{2}+s^{2})^{-1/2}\cdot 2s = \frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial s} = \frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.

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