Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=e^{x} \cdot \ln (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
f(x,y)=e^{x}\,\ln(xy).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia, além da derivada de \ln(u).

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, aplicamos a regra do produto a e^{x} e \ln(xy):
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\,\ln(xy) +e^{x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(xy)\bigr).
Calculando cada termo: \displaystyle \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
Para \displaystyle \frac{d}{dx}[\ln(xy)], use \displaystyle \frac{1}{xy}\cdot\frac{d}{dx}(xy)=\frac{1}{xy}\cdot y=\frac{1}{x}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{x}\ln(xy)+e^{x}\cdot\frac{1}{x} =e^{x}\Bigl(\ln(xy)+\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, e^{x} é constante e temos
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{x}\,\frac{d}{dy}\bigl(\ln(xy)\bigr).
Novamente, \displaystyle \frac{d}{dy}[\ln(xy)]=\frac{1}{xy}\cdot\frac{d}{dy}(xy)=\frac{1}{xy}\cdot x=\frac{1}{y}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =\;e^{x}\,\frac{1}{y} =\frac{e^{x}}{y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =e^{x}\Bigl(\ln(xy)+\tfrac{1}{x}\Bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{e^{x}}{y}.

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