Teste a série para convergência ou divergência. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4n^{2}+1}.
O conteúdo envolve o Teste de Leibniz (séries alternadas) e também o teste de convergência absoluta usando comparação com uma série p-série.
Passo 2
Aplicando o Teste de Leibniz, definimos
a_{n} = \frac{1}{4n^{2}+1}.
Verificamos duas coisas:
a_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n^{2}+1}=0.
A sequência (a_{n}) é decrescente para n grande, já que o denominador 4n^{2}+1 cresce com n. Logo, todos os requisitos do Teste de Leibniz estão satisfeitos e a série converge (pelo menos) condicionalmente.
Passo 3
Agora verificamos a convergência absoluta. Observamos
e sabemos que \sum 1/n^{2} é convergente p-série com p=2>1. Pelo teste de comparação, \sum 1/(4n^{2}+1) também converge. Logo, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.