Teste a série para convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4n^{2}+1}.
O conteúdo envolve o Teste de Leibniz (séries alternadas) e também o teste de convergência absoluta usando comparação com uma série p-série.

Passo 2

Aplicando o Teste de Leibniz, definimos
a_{n} = \frac{1}{4n^{2}+1}.
Verificamos duas coisas:
  1. a_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n^{2}+1}=0.
  1. A sequência (a_{n}) é decrescente para n grande, já que o denominador 4n^{2}+1 cresce com n. Logo, todos os requisitos do Teste de Leibniz estão satisfeitos e a série converge (pelo menos) condicionalmente.

Passo 3

Agora verificamos a convergência absoluta. Observamos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n+1}}{4n^{2}+1}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+1}.
Como 4n^{2}+1>4n^{2}, temos
\frac{1}{4n^{2}+1}<\frac{1}{4n^{2}}=\frac{1}{4}\,\frac{1}{n^{2}},
e sabemos que \sum 1/n^{2} é convergente p-série com p=2>1. Pelo teste de comparação, \sum 1/(4n^{2}+1) também converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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