Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(r, s, v, p)=r^{3} \cdot \operatorname{tg} s+\sqrt{s} \cdot e^{v^{2}}-v \cdot \cos 2 p

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(r,s,v,p)=r^{3}\,\tan(s)+\sqrt{s}\,e^{v^{2}}-v\,\cos\bigl(2p\bigr).
O conteúdo é derivada parcial de função de quatro variáveis. Para cada variável, derivamos tratando as outras como constantes.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial r}, só o termo r^{3}\,\tan(s) depende de r. Usamos \mathrm{d}(r^{3})/\mathrm{d}r=3r^{2} e mantemos \tan(s) constante:
\frac{\partial f}{\partial r} =3r^{2}\,\tan(s).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial s}, há dois termos com s:
  1. r^{3}\,\tan(s) – derivada de \tan(s) é \operatorname{sec}^{2}(s).
  2. \sqrt{s}\,e^{v^{2}} – derivada de \sqrt{s} é \tfrac{1}{2\sqrt{s}}.
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial s} =r^{3}\,\operatorname{sec}^{2}(s) +\frac{1}{2\sqrt{s}}\,e^{v^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}, só os termos com v entram:
  1. \sqrt{s}\,e^{v^{2}} – derivada de e^{v^{2}} é 2v\,e^{v^{2}}.
  2. -v\,\cos(2p) – derivada em relação a v é -1\cdot\cos(2p).
    Assim,
\frac{\partial f}{\partial v} =2v\,\sqrt{s}\,e^{v^{2}}-\cos\bigl(2p\bigr).

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial p}, só o termo -v\,\cos(2p) depende de p. Derivada de \cos(2p) é -2\sin(2p), logo
\frac{\partial f}{\partial p} =-v\bigl(-2\sin(2p)\bigr) =2v\,\sin(2p).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial r}=3r^{2}\,\tan(s), \quad \frac{\partial f}{\partial s}=r^{3}\,\operatorname{sec}^{2}(s) +\frac{1}{2\sqrt{s}}\,e^{v^{2}},
\frac{\partial f}{\partial v}=2v\,\sqrt{s}\,e^{v^{2}}-\cos\bigl(2p\bigr), \quad \frac{\partial f}{\partial p}=2v\,\sin(2p).

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