Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=\left(x^{3}-y^{2}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de f(x,y) = \bigl(x^3 - y^2\bigr)^5. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas. Vamos usar que, se definirmos
u(x,y) = x^3 - y^2
então
f(x,y) = u(x,y)^5
e aplicar
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{df}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}.
Temos
\frac{df}{du} = 5\,u^4
e
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3 - y^2\bigr) = 3x^2.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = 5\,u^4 \cdot 3x^2 = 15\,x^2\,\bigl(x^3 - y^2\bigr)^4.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}.
Ainda temos \tfrac{df}{du} = 5\,u^4 e
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^3 - y^2\bigr) = -2y.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} = 5\,u^4 \cdot (-2y) = -10\,y\,\bigl(x^3 - y^2\bigr)^4.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 15\,x^2\,\bigl(x^3 - y^2\bigr)^4, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -10\,y\,\bigl(x^3 - y^2\bigr)^4.

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