Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=x \cdot \cos \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
f(x,y)=x\cos\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).
O conteúdo necessário é derivação de função de duas variáveis, usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto a u(x)=x e v(x)=\cos(x/y). Temos
\frac{du}{dx}=1, \quad \frac{dv}{dx} =-\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =-\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\cdot\frac{1}{y}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =1\cdot\cos\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) + x\cdot\Bigl(-\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\cdot\frac{1}{y}\Bigr) =\cos\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) -\frac{x}{y}\,\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, agora tratamos x como constante e derivamos v(y)=\cos(x/y). Pela cadeia,
\frac{dv}{dy} =-\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\cdot\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =-\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{x}{y^2}\Bigr) =\frac{x}{y^2}\,\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).
Multiplicando por x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} =x\cdot\frac{x}{y^2}\,\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =\frac{x^2}{y^2}\,\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) -\tfrac{x}{y}\,\sin\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x^2}{y^2}\,\sin\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr).

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